Matematické Fórum

coraab · 11. 06. 2014 18:56

Dobrý den, nevím si rady s jedním přikladem. Zadání:
Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky $p: 3x+4y-15=0$ , její střed leží na přímce $q: x+2y+6=0$ a $r=5$ .

Předem děkuji za rady.

Jj · 11. 06. 2014 19:09

↑ coraab:

Dobrý večer. Řekl bych, že pomůže třeba vést přímky rovnoběžné s přímkou p ve vzdálenosti 5 od p.
Na průsečíku těchto rovnoběžek a přímky q budou ležet středy hledaných kružnic (dvě řešení).

hroch2 · 11. 06. 2014 19:17 — Editoval hroch2 (11. 06. 2014 19:21)

↑ coraab:

Konštrukcia:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Druhé riešenie je napravo od narysovaného, smerom dolu. Pochádza od druhej rovnobežky vo vzdialenosti 5. (Jj vďaka, nevšimla som si.)

coraab · 11. 06. 2014 19:24

Takže bych měl k členu $C$ u přímky $p$ přičíst a odečíst ten poloměr $r$ a pak ty dvě přímky protnout s přímkou $q$ ?

hroch2 · 11. 06. 2014 19:33 — Editoval hroch2 (11. 06. 2014 19:38)

↑ coraab:

Je to zložitejšie. To c v rovniciach funguje iba vo zvislom smere.

Vyjdi z toho, že priamka a kružnica majú spoločný jediný bod a

že stred kružnice má súradnice, ktoré vyhovujú jednej danej priamke.

$S[-2t-6;t]$

coraab · 11. 06. 2014 19:35

aha a jak prosím dostanu tu rovnoběžku? Mě ešení je jasné už od začátku ale nemohu přijít na ty dvě rovnoběžky...

hroch2 · 11. 06. 2014 19:40

↑ coraab:

Možno stačí iba napísať, že vzdialenosť stredu kružnice $S[-2t-6;t]$ od priamky $p: 3x+4y-15=0$ je 5. (vzorec)

coraab · 11. 06. 2014 19:52

Ale jak jsi přišel na ten bod $S$ ?

hroch2 · 11. 06. 2014 19:56

↑ coraab:

Leží na tej priamke $q: x+2y+6=0$ , takže jeho súradnice jej musia vyhovovať.

Zvolíš za y trebárs t a vypočítaš k nemu x. Dostaneš dvojicu súradníc stredu kružnice.

Jj · 11. 06. 2014 20:23 — Editoval Jj (11. 06. 2014 20:24)

↑ coraab:

Pro započtení vzdálenosti +- 5 od přímky p ji můžete převést na normálový tvar:

$3x+4y-15=0\; | : \sqrt{3^2+4^2}=5$

$\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y-3=0$ , --> vzdálenost přímky od počátku = 3 --> u rovnoběžek 3+5=8, 3-5=-2

--> rovnice rovnoběžek ve vzdálenosti 5 od přímky p:

$\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y -8=0 \Rightarrow 3x+4y-40 = 0$
$\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y+2=0 \Rightarrow 3x+4y+10 = 0$

Řešením jejich průsečíky s přímkou q: $S_1(2,-4), S_2(52,-29)$

Takže už jen rovnice kružnic.