Matematické Fórum

lemko · 11. 06. 2014 15:10 — Editoval lemko (11. 06. 2014 15:12)

Dobryden. Nemluvim Cesky :(

I am reading some Czech exercices about linear algebra and I would like to be sure that I understand the questions. May you tell me if I am right? :)

1) Definujte hodnost matice a hodnost lineárního zobrazení. Vysvětlete, proč je $h(a) \leq min(n, m)$ pro matici $A \in \mathbf{T^{n, m}}$ .

I understand I have to define the rank of a matrix (the maimum number of LI column/row vector in the matrix) but after I am not sure to understand.

2) Nechť V je lin. prostor dimenze $n \in \mathbf{N}$ , $A \in \mathbf{L(V)}$ lin. operátor a $X$ a $Y$ dvě různé báze $V$ . napište definici matice zobrazení $A$ v bázích $X$ a $Y$ , tzn. matice $^{X}A^Y$ . Dokažte, že platí

$h(A) = h(^{X}A^Y)$

I don't understand :(

3) Definujte pojmy lineárně nezávislý soubor vektorů (tuto definici napište ve výrokové podobě) a lineárně nezávislá nekonečná množina. Napište, co nám říká dimenze lineárního prostoru o lineárně nezávislých souborech v tomto prostoru. Dokažte násl. tvrzení: je-li $(x_1,...,x_n)$ lineárně nezávislý soubor a $y \notin (x_1,...,x_n)$ , potom je soubor $(x_1,...,x_n)$ také lineárně nezávislý.

Define LI but I don't understand the second part.

4. Definujte algebraickou a geometrickou násobnost vlastního čísla lineárního operátoru. V jakém vztahu jsou tato dvě čísla a co jejich hodnoty říkají o diagonalizovatelnosti operátorů? Dokažte, že spektrum matice A je roven množině kořenů charakteristického polynomu.

I have to define the multiplicity of eigenvalues and why the spectrum contains the root of the characteristic polynomial?

Diky :)

OndrasV · 11. 06. 2014 15:21

1) You must explain, why the inequlity holds. If you use theorem, that number of LI row vectors is the same as number of LI column vectors, you have it.

3) you have a typo in the last set of vectors $(x_1,...,x_{k-1},y,,x_{k+1},...,x_n)$

lemko · 11. 06. 2014 15:38

OndrasV napsal(a):
1) You must explain, why the inequlity holds. If you use theorem, that number of LI row vectors is the same as number of LI column vectors, you have it.

3) you have a typo in the last set of vectors $(x_1,...,x_{k-1},y,,x_{k+1},...,x_n)$

Hello, thank you for your answer.

1) I don't understand what this equality is supposed to represent.

3) What is a typo?

OndrasV · 12. 06. 2014 12:00

↑ lemko: Typo in 3) - you have $(x_1,...,x_n)$ mentioned twice, i was wrong, i think you should prove that also n+1 vectors $(x_1,...,x_n,y)$ are LI.

To 1) number of LI vectors of set of n vectors is also n at most.

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2014 15:10 — Editoval lemko (11. 06. 2014 15:12)

Otazka (linear algebra)

#2 11. 06. 2014 15:21

Re: Otazka (linear algebra)

#3 11. 06. 2014 15:38

Re: Otazka (linear algebra)

OndrasV napsal(a):

#4 12. 06. 2014 12:00

Re: Otazka (linear algebra)

Zápatí