Matematické Fórum

cryogenic · 12. 06. 2014 13:04

Dobrý den.Počítam úlohy na Lagrang. multiplikátory a zjišťuju, že mám výrazné nedostatky. Mějme
$f(x,y,z)=x^2-y^2,M=\{[x,y,z]\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2=9,x+z\ge1\}$

A nechť $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9$ . M je uzavřená a omezená ( $M\subset K(0,3))$ . M je tedy kompaktní a $f$ je spojitá $\Rightarrow$ $f$ nabývá max/min.

1) $\nabla g(x,y,z)=(2x,2y,2z)=\vec{0}\leftrightarrow x=y=z=0$ , ale $[0,0,0]\not \in M$

2)
$\nabla f-\lambda \nabla g=0$
$(2x-\lambda2x=0$
$-2y-\lambda 2y=0$
$0-\lambda 2z=0$
$x^2+y^2+z^2=9$

A) $\lambda=0$
$x=y=0\rightarrow z=3$ ,1. PB $[0,0,3]$
B) $\lambda\not=0,z=0$
> $\lambda =\pm 1:x=y=0,[0,0,0]\not \in M$

Mám jenom jeden podezřelý bod, který neodpovídá správnému řešení. Nejspíš to celé chápu špatně, mohl by mi někdo vysvětlit v čem dělám chybu?Děkuji

OndrasV · 12. 06. 2014 13:26

U B) neplatí $\lambda =\pm 1:x=y=0,[0,0,0]\not \in M$ .

cryogenic

Asi jsem uvažoval moc zkratkovitě, přišel jsem ale akorát na jeden PB navíc:

platí $\lambda \not = 0,z=0$
$2x(1-\lambda )=0$
$-2y(1+\lambda)=0$

I) $x=0$ : z $x^2+y^2+z^2=9$ máme $y=3$ , ale $[0,3,0]\not \in M$ ,protože neplatí $x+z\ge1$
II) $y=0$ z $x^2+y^2+z^2=9$ máme $x=3$ a $[3,0,0]\in M$
III) $\lambda = 1$
$2x-2x=0$
$-2y-2y=0$
$0x=0$
$-4y=0$ , $y=0$
a z $x^2+y^2+z^2=9$ $x=3$ , $[3,0,0]\in M$
IV) $\lambda =-1$
$2x-2x=0$ , $x=0$
$-2y+2y=0$
$0y=0$
z $x^2+y^2+z^2=9$ , $y=3$ , ale $[0,3,0]\not \in M$

Podle řešení, mi tedy správně vyšlo maximum, ale stále mi chybí minimum. Co ještě musím udělat?

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2014 13:04

úloha na lag. multiplikator

#2 12. 06. 2014 13:26

Re: úloha na lag. multiplikator

#3 12. 06. 2014 13:50 — Editoval cryogenic (12. 06. 2014 13:53)

Re: úloha na lag. multiplikator

Zápatí