Matematické Fórum

hroch · 15. 02. 2009 13:16

vyšetřete konvergenci řady

suma od n=1 až nekonečno (cos 1/n - cos 2/n)

moch by někdo pomoct ?

kaja.marik · 15. 02. 2009 15:19

zkusil bych srovnavaci kriterim.

treba s radou, ktera vznikne jako prvni clen tayolova rozvoje funkce cos(x)-cos(2x) v okoli nuly a dosadim tam x=1/n

Marian · 15. 02. 2009 21:56

↑ kaja.marik:
Existuje přístupnější cesta bez Taylorova rozvoje. Je třeba brát v úvahu identitu
$\cos\alpha -\cos\beta =-2\cdot\sin\frac{\alpha +\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha -\beta}{2}.$
Dosadíme $\alpha =\frac{1}{n}$ a $\beta =\frac{2}{n}$ . Pak je
$\sum_{n=1}^{\infty}\left (\cos\frac{1}{n}-\cos\frac{2}{n}\right )=2\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3}{2n}\cdot\sin\frac{1}{n}.$
Protože se jedná to řadu s kladnými členy a platí
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{3}{2n}\cdot\sin\frac{1}{n}}{\frac{3}{2n^2}}=1\neq 0,$
pak nekonečná řada
$\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{3}{2n}\cdot\sin\frac{1}{n}$
konverguje právě tehdy, když konverguje nekonečná řada
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2n^2}.$
Tato je ale konvergentní, tedy konverguje i řada původní, tj. řada
$\sum_{n=1}^{\infty}\left (\cos\frac{1}{n}-\cos\frac{2}{n}\right ).$

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2009 13:16

konvergence řady

#2 15. 02. 2009 15:19

Re: konvergence řady

#3 15. 02. 2009 21:56

Re: konvergence řady

Zápatí