Matematické Fórum

milanbajn · 11. 06. 2014 20:35

Potrebujem pomôcť riešení oboru konvergencie:
Σ(3∗∗n/(n+1))∗(x−4)∗∗n n od 0 po nekonečno
Vedel by mi s tým niekto poradiť?

Bati · 11. 06. 2014 20:43

↑ milanbajn:
Ahoj,
začni určením středu a poloměru konvergence.

milanbajn · 11. 06. 2014 21:33

stred konvergencie je 4 a polomer ako limitu podielu a(n+1) a a(n) v absolútnej hodnote a toto neviem spraviť

Bati · 11. 06. 2014 21:35

↑ milanbajn:
Tak napiš, co je v našem případě a(n).

milanbajn · 11. 06. 2014 21:55

a(n)= 3**n/(n+1)
a(n+1)= 3**(n+1)/(n+1 +1)

lim 3**n*(n+2)/(n+1)*3**(n+1)

Bati · 11. 06. 2014 22:28 — Editoval Bati (11. 06. 2014 22:29)

↑ milanbajn:
Super, teď to stačí pokrátit:
$\frac{a(n+1)}{a(n)}=\frac{3^{n+1}(n+1)}{3^n(n+2)}=3\frac{n+1}{n+2}=3(1-\frac1{n+2})$ .
Jaký je tedy poloměr a co z toho plyne pro (absolutní) konvergenci řady?

milanbajn · 11. 06. 2014 22:35

lim je 3
interval konvergencie je od 1 po 7
teraz do radu za x dosadiť číslo 1 a potom číslo 7 asi?!?

Bati · 11. 06. 2014 23:38

↑ milanbajn:
Sorry, prohodil jsem to, poloměr by měl vyjít $\tfrac13$ . (Normálně to počítám vzorcem $R=\frac1{\lim\sup\sqrt[n]{|a(n)|}}$ , což je definováno vždycky, narozdíl od $\lim_{n\to\infty}\frac{a(n)}{a(n+1)}$ )

Teď ještě záleží na tom, jestli ta proměnná $x$ je komplexní nebo reálná. V prvním případě bude obor konvergence vnitřek kruhu $4+\tfrac13 e^{i\theta}$ , ve druhém interval $(4-\tfrac13,4+\tfrac13)$ . Víme, že uvnitř oboru konvergence daná řada konverguje absolutně, mimo něj diverguje. Zbývá tedy zjistit jak to je na hranici, což zjistíme dosazením příslušné hoddnoty za $x$ .

milanbajn · 12. 06. 2014 16:52

Bolo to dobré,limita je 3 a polomer je 1/3.Moja chyba.

Bati · 12. 06. 2014 19:42 — Editoval Bati (12. 06. 2014 19:42)

↑ milanbajn:
No a co dál? Stále jsi nenapsala, jestli to je kompl. nebo reálná řada. Pro vyšetření konvergence na hranici oboru konvergence můžeš v komplexním případě použít Dirichletovo kritérium ( $\sum_n e^{inx}$ má omezené částečné součty) a v reálném případě postačí Leibnizovo krit.

milanbajn · 12. 06. 2014 19:47

pre x=11/3 som dostal rad so striedavými znamienkami , postupnosť je rastúca a limita a(n) je nekonečno teda rad diverguje
pre x=13/3 som dostal rad s kladnými znamienkami, postupnosť je rastúca a jeho limita a(n) le nekonečno tak rad diverguje

Je tento záver správny?

Bati · 12. 06. 2014 19:51

↑ milanbajn:
Z toho, že jiná x nezkoumáš usuzuju, že řada je reálná. Jakto, že posloupnost je rostoucí? Po vykrácení mocniny tam zbyde $\sum \frac{(-1)^n}{n+1}$ ne?

milanbajn · 14. 06. 2014 08:56

Jasné bola to chyba, skúmal som len Σ3**n/n+1
x=11/3 striedavé znamienka , funkcia je klesajúca ( pre n=1 je to -1/2, pre n=2 je to 1/3 ...)
limita je 0 a teda podľa L.kritéria konverguje
x=13/3 kladné znamienka, funkcia klesajúca limita 0 a rad konverguje
teda na intervale 11/3 konverguje a na ostatnom diverguje
Je to tak?

Bati · 14. 06. 2014 09:24 — Editoval Bati (14. 06. 2014 09:24)

↑ milanbajn:
V 13/3 dostáváme řadu $\sum\frac1{n+1}$ a ta diverguje, přestože $\lim\frac1{n+1}=0$ .

milanbajn · 14. 06. 2014 09:42

Áno pochopil som a ako mám teraz spraviť záver?

milanbajn · 14. 06. 2014 09:45

Teda bude konvergovať na intervale otvorenom sprava?

Bati · 14. 06. 2014 10:07

↑ milanbajn:
Ano, na $[4-\tfrac13,4+\tfrac13)$ .

milanbajn · 14. 06. 2014 10:12

Ďakujem!!

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2014 20:35

obor konvergencie

#2 11. 06. 2014 20:43

Re: obor konvergencie

#3 11. 06. 2014 21:33

Re: obor konvergencie

#4 11. 06. 2014 21:35

Re: obor konvergencie

#5 11. 06. 2014 21:55

Re: obor konvergencie

#6 11. 06. 2014 22:28 — Editoval Bati (11. 06. 2014 22:29)

Re: obor konvergencie

#7 11. 06. 2014 22:35

Re: obor konvergencie

#8 11. 06. 2014 23:38

Re: obor konvergencie

#9 12. 06. 2014 16:52

Re: obor konvergencie

#10 12. 06. 2014 19:42 — Editoval Bati (12. 06. 2014 19:42)

Re: obor konvergencie

#11 12. 06. 2014 19:47

Re: obor konvergencie

#12 12. 06. 2014 19:51

Re: obor konvergencie

#13 14. 06. 2014 08:56

Re: obor konvergencie

#14 14. 06. 2014 09:24 — Editoval Bati (14. 06. 2014 09:24)

Re: obor konvergencie

#15 14. 06. 2014 09:42

Re: obor konvergencie

#16 14. 06. 2014 09:45

Re: obor konvergencie

#17 14. 06. 2014 10:07

Re: obor konvergencie

#18 14. 06. 2014 10:12

Re: obor konvergencie

Zápatí