Matematické Fórum

jaja3 · 11. 02. 2009 14:22

Zdravím, potřebovala bych poradit s tímto příkladem

Po ose x jede vlak. Když je v počátku souřednic, kdosi z okna vyhodí kámen ve směru jízdy. Vlak jede rovnoměrnou rychlostí velikosti V. Velikost rychlosti kamene vůči vlaku je v. Kámen byl hozen šikmo v bok od vlaku pod úhlem alfa, šikmo vzhůru pod úhlem beta.

Jaké maximální výšky kámen dosáhne?
Jaké budou souřadnice místa dopadu kamene?
Jak dalekko od sebe budou v momentu dopadu kámen a vlak?
Jak daleko od kolejí vlak dopadne?
Jak daleko od počátku souřadnic vlak dopadne?

Nevím, jak se dostat k rychlosti kamene vyhozeného z okna. pak už by to neměl být takový problém.

Děkuji za pomoc

Pavel Brožek

jaja3 napsal(a):
Jak daleko od kolejí vlak dopadne?
Jak daleko od počátku souřadnic vlak dopadne?

Házíme teda kamenem nebo vlakem? :-)

Rychlosti kamene vyhozeného z okna (vůči vlaku) je známa ze zadání, tak nevím, v čem je problém.

Já bych to celé počítal v soustavě spojené s vlakem, jen pro otázky, kde je to potřeba, bych to přepočítal do soustavy spojené se zemí (Galileova transformace).

jaja3 · 11. 02. 2009 20:15

Pardon omlouvám se samozřejmě kamenem.

jaja3 · 11. 02. 2009 20:17

Myslela jsem to, jak vyčíslit, ž čeho se rychlost kamene skládá: síla hodu+ rychlost vlaku - ale jaká část té rychlosti vlaku

Pavel Brožek

Máme dvě soustavy:
Země - Osa x je dána ze zadání, osu y volíme vodorovně kolmo k jízdě vlaku, osu z vzhůru. Souřadnice bodu jsou vůči této soustavě $\vec{x}=(x,\, y,\, z)$ .
Vlak - Osy rovnoběžné s osami v soustavě spojené se zemí. Souřadnice bodu jsou vůči ní $\vec{x}'=(x',\, y',\, z')$ .

Zřejmě platí

$x=x'+Vt\nl y=y'\nl z=z'$

V čase 0 máme pro polohu a rychlost

$\vec{x}(0)=\vec{x}'(0)=(0,\,0,\,0)\nl \vec{v}'(0)=(v_x',\, v_y',\, v_z')=(v\cos\beta\cos\alpha,\,v\cos\beta\sin\alpha,\,v\sin\beta)$

Zrychlení kamene je $\vec {a}'=(0,0,-g)$ . Jeho rychost v čase t je proto

$\vec{v}'(t)=\vec{v}'(0)+\int_0^t\vec{a}'\textrm{d}t=(v\cos\beta\cos\alpha,\,v\cos\beta\sin\alpha,\,v\sin\beta-gt)$ .

Poloha v čase t je

$\vec{x}'(t)=\vec{x}'(0)+\int_0^t\vec{v}'\textrm{d}t=(vt\cos\beta\cos\alpha,\,vt\cos\beta\sin\alpha,\,vt\sin\beta-\frac12gt^2)$

Z toho

$\vec{x}(t)=(vt\cos\beta\cos\alpha+Vt,\,vt\cos\beta\sin\alpha,\,vt\sin\beta-\frac12gt^2)$

To snad bude stačit k tomu, aby jsi to už dopočítala a odpověděla na ty otázky. Ale pokud něco třeba není jasné, tak se ozvi.