Matematické Fórum

tomson · 12. 06. 2014 19:39

Potreboval by som poradiť s týmto:

Akej chyby sa dopustíme, ak nahradíme diferenciu $\sqrt[3]{1,01} - \sqrt[3]{1}$ hodnotou $d$ príslušného diferenciálu ? Určite $d$ a príslušnú chybu $c$ vypočítajte s presnosťou $10^{-6}$ .

Určiť diferenciál mi nerobí problém $f(x)=\sqrt[3]{x}$ potom $d=f'(1)\cdot0,01={{10^{-2}}\over{3}}$ No neviem si poradiť s vypočítaním tej chyby.

Ďakujem

Bati · 13. 06. 2014 22:08 — Editoval Bati (13. 06. 2014 22:21)

Ahoj,
$\text{d}f(1,0.01)$ máš správně. Chyba se odhaduje pomocí Taylorovy věty.

Z ní plyne, že zbytek $f-T^f_{n,a}$ se dá zapsat např. v Lagrangeově tvaru:
$R^{f}_{n+1,a}(a+h)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}h^{n+1}$ pro určité $\xi\in(a,a+h)$ . Abychom dosáhli přesnosti $10^{-6}$ , potřebujeme, aby $|R^f_{n+1,a}(a+h)|<\tfrac{10^{-6}}2$ .
Dosazením $f=x^{\frac13}$ , $a=1$ , $h=0.01$ , $n=1,2$ a využitím monotonie $|f^{(2)}|$ , $|f^{(3)}|$ snadno zjistíš, že je potřeba $n\geq2$ , tj. Taylorův polynom druhého stupně. Hledaná chyba je tedy
$c=f(1+h)-f(1)-d=\frac{f^{(2)}(1)}{2}h^2\pm(|R^f_{3,1}(1+h)|<\frac{10^{-6}}2)$ .
(ve skutečnosti má tento odhad přesnost $10^{-7}$ ).