Matematické Fórum

roflSK · 13. 06. 2014 22:46 — Editoval roflSK (13. 06. 2014 23:10)

Zdravím, už nejaký čas riešim toto zadanie a neviem to dotiahnuť do konca. Asi mám zlý postup alebo som niekde spravil chybu. Prosím o kontrolu.
Text zadania:
Určite všetky hodnoty parametru p € R, pre ktorý je funkcia f klesajúca.
$f:y=(\frac{2p^{2}}{p^{2}+1})^{x}$

Keďže predpis exp. fcie je Y= A^X a klesajúca je ak je A na intervale (0;1), tak som z predpisu f urobil nerovnicu
$0<(\frac{2p^{2}}{p^{2}+1})<1$
a z nej 2 čiastkové nerovnice:
1. nerovnica $(\frac{2p^{2}}{p^{2}+1})>0$
2. nerovnica $(\frac{2p^{2}}{p^{2}+1})<1$

1. nerovnica je >0, teda kladná ak čitateľ a menovateľ je kladný alebo čitateľ a menovateľ je záporný.
$(\frac{2p^{2}}{p^{2}+1})>0$
$2p^{2} >0 ~\wedge~ p^2+1>0 ~~~\vee~~~ -2p^2>0~\wedge~ -p^2-1>0$
$p \in R -\{0\}~\wedge~ p \in R~~~\vee ~~~p \in \emptyset ~\wedge~ p \in \emptyset$
$p = R -\{0\} \cap R = R -\{0\}$

2. nerovnica:
$(\frac{2p^{2}}{p^{2}+1})<1$
$(\frac{2p^{2}}{p^{2}+1})-1<0$
$(\frac{2p^{2}-p^2-1}{p^{2}+1})<0$

nerovnica je záporná ak je čítateľ kladný, menovateľ záporný alebo naopak:
$-(2p^{2}-p^2-1) <0 ~\wedge~ p^2+1<0 ~~~\vee~~~ 2p^{2}-p^2-1<0~\wedge~ -p^2-1<0$
$-p^2+1 <0 ~\wedge~ p^2+1<0 ~~~\vee~~~ p^2-1<0~\wedge~ -p^2-1<0$
$p \in (-1;1)~\wedge~ p \in \emptyset ~~~\vee ~~~p \in (-1;1) ~\wedge~ p \in (-\infty;1)\cup (1;\infty)$
$p = (-1;1)$

Neviem, čo ďalej, vlastne ani neviem, či som doteraz postupoval správne. Každopádne správny výsledok je
$p \in (-1;0)\cup (0;1)$
Ak si niekto nájde čas a vysvetlí, poradí alebo napíše ako mám postupovať, kde je chyba, budem rád. Ďakujem.

misaH · 13. 06. 2014 22:53 — Editoval misaH (13. 06. 2014 22:57)

↑ roflSK:

Zbytočne to komplikuješ.

Kopa výrazov je evidentne kladných a evidentne rôznych od 0.

Pozri si to ešte raz.

A ešte: menovateľ asi

$p^{2} +1$

p^{2}+1

roflSK · 13. 06. 2014 23:13

Ano, bola tam chyba. Uz je to dufam vsetko opravene. Nejak sa z toho neviem vymotat, pritom si myslim, ze to nie je nejako zlozite.

misaH · 13. 06. 2014 23:18

↑ roflSK:

Väčšie ako 0 je to vždy.

Menšie ako 1:

Ako si to urobil - prevedieš 1 na druhú stranu a upravíš.

Menovateľ je kladný vždy - stačí teda zistiť, kedy má vhodné znamienko čitateľ.

roflSK · 13. 06. 2014 23:24

Väčšie ako 0 vždy? Ja by som povedal, že R-{0} lebo ak by to bolo 0, tak by to mohlo byť rovné 0 => 0/1
Alebo sa mylim?

misaH · 13. 06. 2014 23:27

↑ roflSK:

Áno, máš pravdu,

ale aj tak netreba robiť všetky tie šachy s rôznymi prípadmi.

roflSK · 13. 06. 2014 23:50

Je to možné. :-) No som už pár rokov po strednej, kde som nemal bohvieakú matematiku. Teraz sa snažím sám pripraviť na prijímačky. Viem, že to komplikujem, ale tak učím sa. :-)

Čiže z tej prvej nerovnice teda vyplýva, že R-{0}. No ak je v druhej menovateľ vždy kladný tak vhodné znamienko čitateľa musí byť - , keďže to ma byť menšie ako 0. Správne? Stačí to vypočítať pre záporný čitateľ? Teda -(2p^2 - p^2 -1)<0, teda -2p^2 + p^2 + 1 < 0.
Tam mi vyšiel interval (-nek;-1)+(1;nek). Správny postup?

misaH · 13. 06. 2014 23:59 — Editoval misaH (14. 06. 2014 00:02)

↑ roflSK:

Áno, stačí zistiť, pre ktoré čísla je záporný čitateľ.

Ale:

$2p^{2}-p^{2}-1=p^2-1$

Toto má byť záporné.

$(p-1)(p+1)<0$

Keď napíšeš interval, vyskúšaj pre istotu niektoré hodnoty z neho, či si trafil.

Tvoj postup nebol dobrý - a ani výsledok.

roflSK · 14. 06. 2014 16:48

OK. Uz to mam. Dakujem.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2014 22:46 — Editoval roflSK (13. 06. 2014 23:10)

Exponenciálna funkcia

#2 13. 06. 2014 22:53 — Editoval misaH (13. 06. 2014 22:57)

Re: Exponenciálna funkcia

#3 13. 06. 2014 23:13

Re: Exponenciálna funkcia

#4 13. 06. 2014 23:18

Re: Exponenciálna funkcia

#5 13. 06. 2014 23:24

Re: Exponenciálna funkcia

#6 13. 06. 2014 23:27

Re: Exponenciálna funkcia

#7 13. 06. 2014 23:28 Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#8 13. 06. 2014 23:50

Re: Exponenciálna funkcia

#9 13. 06. 2014 23:59 — Editoval misaH (14. 06. 2014 00:02)

Re: Exponenciálna funkcia

#10 14. 06. 2014 16:48

Re: Exponenciálna funkcia

Zápatí