Matematické Fórum

marketka01 · 15. 06. 2014 10:48

Ahoj, pomuzete mi prosim s resenim tohoto prikladu? Nemam bohuzel spravny vysledek... Ale i tak, moc by mi pomohly vase reakce

Kolika zpusoby lze vybrat 60 kulicek tri barev (cervena,modra,zelena), kdyz soucet zelenych a modrych musi byt sudy ?

MOJE UVAHA JE NASLEDUJICI:

chapu, ze se to rozdeli na ty dva pripady, kdy
a) je lichy pocet Zelenych a Modrych,
b) sudy pocet Zelenych a Modrych
pritom Cervenych je vzdy pocet sudy

V pripadu b) to vychazi $\frac{1}{(1-x^2)^3}$ a zajima me x^30 (ptz hledam dvojice, 60:2=30),

v pripadu a) si to rozdelim na soucin $\frac{1}{(1-x)^2}\cdot \frac{1}{1-x^2}$ , je to dobre? A nevim jak dal,
Rozdelila bych si to na casti, nejdriv bych vzala prvni zlomek v soucinu a tam bych hledala x^60, a u druheho zlomku by to bylo x^30
Pak bych to co mi vyjde mezi sebou vynasobila, a tim mi vyjde pocet zpusobu v pripadu za a)
Nakonec sectu pocet zbusobu v a) a b) a vysel by mi vysledek...

ALE OBAVAM SE ZE TO JE SPATNE :/

Jj · 15. 06. 2014 11:27 — Editoval Jj (16. 06. 2014 23:09)

↑ marketka01:

Dobrý den, řekl bych (pokud jsem úlohu správně pochopil), že je-li počet červených sudý, pak součet
zelených a modrých musí být rovněž sudý (60 - sudý počet červených = sudý počet). Takže není třeba
dělení ad a) a b). Takže zjednodušení.

Je-li červených 58 může být zelených 1 1 možnost = 59 - 58
modrých 1

56 zelených 1 2 3 3 možnosti = 59 - 56
modrých 3 2 1

54 zelených 1 2 3 4 5 5 možností = 59 - 54
modrých 5 4 3 2 1
atd.

Takže pokud něco nepřehlížím, měl by být počet možností

Editováno:
Skryt zřejmě nesmyslný souhrn počtu možností.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Opraveno na $_{\sum_{n=1}^{29}(59-2n)=841}$
Pokud by mohl být počet zelených nebo modrých nulový (při dodržení podmínky sudosti součtu zelených a modrých),
přibyly by k danému počtu červených zřejmě vždy ještě dvě možnosti, tj. $_{\sum_{n=1}^{29}(59-2n+2)=899}$

marketka01 · 15. 06. 2014 17:28

↑ Jj:
diky za reakci, skoda ze nemam spravny vysledek
Ale hlavne mi jde o vyjadreni tou vytvorujici funkci, kdyby nekdo vedel jak na to , budu opravdu moc rada... sedim nad tim uz dlouho a porad se nemuzu dobrat nejakeho konce :/

marketka01 · 16. 06. 2014 16:39

Nikdo netusi?? :(

Brano · 16. 06. 2014 17:17 — Editoval Brano (17. 06. 2014 13:23)

keby si nemala ziadne obmedzenie na paritu, tak by ta vytvarajuca funkcia bola

$(1+x+x^2+...)^3=\frac{1}{(1-x)^3}$ a hladala by si v nej clen pri $x^{60}$

teraz ak mas podmienku, ze sucet dvoch ma byt parny, tak ma napadlo nieco taketo:

$f(x)=(1+x+x^2+...)^2=\frac{1}{(1-x)^2}$ je vytvarajuca fcia iba pre tie dva (zelena,modra)

t.j. $f(x)=\sum_n a_n x^n$ - a ak chces iba parne cleny, tak si mozes vsimnut, ze
$f(x)+f(-x)=\sum _{k}2a_{2k} x^{2k}$

takze vytvarajuca funkcia co hladas bude
$(1+x+x^2+...)\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-x}\left(\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\right)=\frac{x^2+1}{(1-x)^3(1+x)^2}$

a hladas clen pri $x^{60}$

vychadza mi to 961 co je ine ako ↑ Jj:

marketka01

↑ Brano:

Moc dekuju!!! A jeste bych se zeptala:
Nejde mi do hlavy, jak pri tomto soucinu rad:

$(1+x^2+x^4+x^6+...)^2 \cdot (x+x^3+x^5+...) ^2$ =tzn. soucin sude a liche

dostanu tohle:

$x^2(1+x^2+x^4+...)^4$

???

Mam totiz dalsi priklad, kde potrebuju upravit tohle:
$(1+x^2+x^4+...)^2 \cdot (x+x^3+x^5+...)$

spis "intuitivne" jsem to upravila dle vzoru nahore takhle:
$x\cdot (1+x^2+x^4+...)^3$

Je moje uvaha, prosim, spravna??

Dekuji!! :)