Matematické Fórum

fenixX · 16. 06. 2014 18:16

Zdravím,
jak prosím vás mám vypočítat tyto dva příklady:

Jedná se mi hlavně o ten první. u Toho druhého mi vyšlo bod (10,-6) a mělo by to být lokální maximum. Nevím ale zdali je to správně.
Děkuji moc za rady a postupy

kajzlik

Ahoj,
první příklad půjde bez větších problémů vyřešit separací proměnných a řešit integrací.

U dvojky dej postup výpočtu, protože ten bod vůbec nesedí.

fenixX · 16. 06. 2014 20:09 — Editoval fenixX (16. 06. 2014 21:26)

Zkusil jsem tedy ten první příklad

Počítal jsem takto:

$u'=\frac{t*(1-u^2)}{(4+t^2)*u} \\ -\frac{1}{2} ln\left | 1-u^2 \right |= \frac{1}{2} ln \left | 4+t^2 \right |+C \\ u = \sqrt{4+t^2}+C \\ u(t) = \sqrt{4+t^2}-1$

Je to správně?

jelena · 16. 06. 2014 21:16

Zdravím,

↑ fenixX: nedávej, prosím, do tématu více úloh, ale jen jednu - viz pravidla. Také vše, co jde, snaž se překontrolovat pomocí online nástrojů - používáš MAW?

pokud jsem nic nepřehlédla, tak v tomto řádku jen chybí C: $-\frac{1}{2} \ln\left | 1-u^2 \right |= \frac{1}{2} \ln \left | 4+t^2 \right |+C$

ale další úpravy již nejsou v pořádku, zkus podrobně a postupně. Děkuji.

fenixX · 16. 06. 2014 21:40

Zdravím,
omlouvám se za vložené dvě úlohy.
MAW - pokud je to tohle http://um.mendelu.cz/maw-html/menu.php?lang=cs nevyužívám a bohužel ani nevím jak to přesně zadat.

Můj postup:

$ln \left | 1-u^2 \right | = - ln \left | 4+t^2 \right | + C \\ \left | 1-u^2 \right | = - \left | 4+t^2 \right | +C \\ -u^2 = -4 -t^2-1 + C \\ u^2 = 4 + t^2 + C \\ u = \sqrt{4+t^2+C} \\ u(t)=\sqrt{4+t^2+C} \\ u(0)=\sqrt{4+0^2+C} =1 => C = -3 \\ u(t)=\sqrt{4+t^2-3}$

Je to správně?

kajzlik

↑ fenixX:

Tohle samozřejmě není správně, potřebuješ aplikovat inverzní funkci ( tedy exponencielu) na obě strany rovnice, tedy na všechno, co tam je..nemůžeš tu konstantu přece jen tak "vypustit"..

$e^ {\ln |1-u^2|} = e^{(-\ln|4+t^2|+C)}$

fenixX · 16. 06. 2014 21:51

↑ kajzlik:

Inverzní funkci k čemu?
Já se teď vůbec nechytám.

kajzlik

No, pokud se chceš zbavit logaritmu, musíš využít inverzní funkci, to je v našem případě exponenciela...
platí přece $e^{\ln x}=x$ , pro $x>0$

Nebo sis snad myslel, že můžes ten logaritmus jen tak škrtnout ? (vlastně bys skoro mohl, nebýt tam to $C$ , ale je třeba si uvědomit proč to můžes udělat ;) )

fenixX · 16. 06. 2014 22:08

↑ kajzlik:

No skoro jsem si říkal, že bych ho mohl škrtnout, ale to C tam opravdu překáží.

Je to tedy možné takhle:

$e^ {\ln |1-u^2|} = e^{(-\ln|4+t^2|+C)} \\ 1-u^2 = C* (t^2+4) \\- u^2 = C *(t^2+4)-1 \\ u^2 = -C*(t^2+4)+1 \\ u = \sqrt{-C*(t^2+4)+1} \\ u(t)= \sqrt{-C*(t^2+4)+1} \\ C \in \mathbb{R}$

kajzlik

Fajn, pohnuli jsme se z místa, každopádně v tomto případě nebude tak jednoduché zbavit se absolutní hodnoty.
výraz $1-u^2$ zcela jistě není kladný pro všechna $u$ , takže řešení se nějak rozpadne..

Ten krok s konstantou je správně, ale jen pro příště bývá zvykem ji přeznačit, protože jsi dostal de facto něco jiného a navíc ještě platí $e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ , pro $x>0$ , tedy

$e^{(-\ln|t^2+4|+C)}=\frac{K}{t^2+4}$ , kde jsem označil $K=e^C$ .
Tady problém s abs. hodnotou nebude, protože $t^2 +4>0$ .

fenixX · 16. 06. 2014 22:37

$1-u^2$
Tenhle výraz přeci nikdy nebude záporný, maximálně = 0.

Jak se to tedy prosím tě rozpadne? Díky moc za vysvětlení s tou exponenciálou.

kajzlik

↑ fenixX:
Mrkni na to ještě jednou, záporný opravdu bude.

S tou absolutní hodnotou pracuješ úplně přirozeně,
řešení se ti rozpadne na
$1-u^2 = \frac{K}{t^2+4}$ , pro $1-u^2 >0$
a
$1-u^2 = -\frac{K}{t^2+4}$ , pro $1-u^2 <0$
Takže už stačí dořešit na jakých intervalech platí jaký zápis, to dostaneš z té nerovnice.
Konstantu dopočítáš z počáteční podmínky.

fenixX · 16. 06. 2014 22:50

↑ kajzlik:
Už úplně blázním a přehlížím základy.

Tak že, když levá strana vychází menší než nula, tak to vynásobím -1?

A proč ve WA je výsledek tento:

kajzlik

Wolfram pravděpodobně to minus schoval do té konstanty a řeší se pak jen přesun té jedničky na pravou stranu a odmocnění, což udělá tu kladnou a zápornou větev.
Každopádně do řešení by se asi slušelo napsat pro jaký interval platí.
A už toho dnes nech, začínají ti nedocházet triviální věci ;)

fenixX · 16. 06. 2014 23:00

Taky, že už toho pro dnešek nechám, jen mě zajímalo, proč ve WA je ten čitatel $\sqrt{c_{1}+t^2+4}$

kajzlik · 16. 06. 2014 23:01

Však říkám, přesunul tu jedničku na druhou stranu a udělal z toho společného jmenovatele.

jelena · 24. 06. 2014 12:57

Zdravím v tématu,

chtěla jsem doplnit poznámku ke komentáři ohledně MAW, až dodebatujete rovnic (a nakonec mi to úplně vypadlo).

fenixX napsal(a):
MAW - pokud je to tohle http://um.mendelu.cz/maw-html/menu.php?lang=cs nevyužívám a bohužel ani nevím jak to přesně zadat.

hodí se používat (pro kontroly, vypisuje podrobný postup, integrály lze projít krokově). Pokud je problém se zadáním, nebo jiným použitím, tak zde je i sekce podpory, kde můžeš mít samostatný dotaz k MAW (nebo jinému nástroji)

↑ kajzlik: děkuji za pečlivé vedení kolegy :-).

fenixX · 24. 06. 2014 13:20

↑ jelena:
Díky moc, tak že odkaz je správný.
Děkuji také kajzlik za jeho trpělivost a postupné vysvětlování.
Velice se mi to hodilo a téma zamykám.

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2014 18:16

Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#2 16. 06. 2014 18:59 — Editoval kajzlik (16. 06. 2014 19:00)

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#3 16. 06. 2014 20:09 — Editoval fenixX (16. 06. 2014 21:26)

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#4 16. 06. 2014 21:16

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#5 16. 06. 2014 21:40

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#6 16. 06. 2014 21:49 — Editoval kajzlik (16. 06. 2014 21:51)

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#7 16. 06. 2014 21:51

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#8 16. 06. 2014 21:54 — Editoval kajzlik (17. 06. 2014 10:22)

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#9 16. 06. 2014 22:08

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#10 16. 06. 2014 22:26 — Editoval kajzlik (16. 06. 2014 22:34)

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#11 16. 06. 2014 22:37

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#12 16. 06. 2014 22:44 — Editoval kajzlik (16. 06. 2014 22:45)

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#13 16. 06. 2014 22:50

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#14 16. 06. 2014 22:57 — Editoval kajzlik (16. 06. 2014 22:58)

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#15 16. 06. 2014 23:00

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#16 16. 06. 2014 23:01

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

#17 24. 06. 2014 12:57

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

fenixX napsal(a):

#18 24. 06. 2014 13:20

Re: Všechna řešení rovnice a lokální extrémy

Zápatí