Matematické Fórum

Ospli · 17. 06. 2014 15:03

Ahoj, pomůžete mi s tímto příkladem?

Nechť $(a_n)$ je rostoucí kladná posloupnost a $\lim_{n\to\infty }a_n=5$ .
Nechť řada komplexních čísel $\sum_{n=1}^{\infty }b_n$ diverguje.

Dokažte, že pak řada $\sum_{n=1}^{\infty }(b_n+\frac{(-1)^{n}}{ln(n+1)})a_n$ diverguje.

Zkoušel jsem řadu roztrhnout na dvě řady
$\sum_{n=1}^{\infty }b_na_n+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{ln(n+1)}(-1)^{n}$

Druhá řada konverguje podle Leibnize (zlomek jde jistě k nule a myslím, že by šlo ukázat, že od nějaké hranice i monotónně).
Snažím se tedy dokázat divergenci první řady, ale nevím jak na to.
A co vlastně znamená, že řada komplexních čísel diverguje? U reálných čísel to přeci znamená, že součet je $\pm \infty$ . To ale pro komplexní čísla nemá smysl...

Xellos · 17. 06. 2014 15:19

Sporom: nech $c_n=a_nb_n$ ; ak by $\sum{c_n}$ konvergovala, tak $\sum{a_n}=\sum{c_n\frac{1}{b_n}}$ by tiez konvergovala podla Abelovho kriteria. Vyuzije sa pritom ze $b_n$ ma nenulovu limitu a ide k nej monotonne, takze aj $\frac{1}{b_n}$ ma limitu a ide k nej tiez monotonne.

Ospli · 17. 06. 2014 15:47 — Editoval Ospli (17. 06. 2014 15:50)

↑ Xellos: Myslím, že $(b_n)$ nemusí mít nenulovou limitu (ani kdyby to byla posloupnost reálných čísel - existuje posloupnost s nulovou limitou, která stále diverguje) a o monotonii na komplexních číslech nejde mluvit.

Jenda358

↑ Ospli:

Ta řada je ze zkouškové písemky z analýzy na matfyzu, že ano?

Já jsem tu písemku psal taky a dneska jsem byl na ústní zkoušce (měl jsem mezi 1 a 2 a nakonec mám za 1).

Každopádně já to řešil sporem, v podstatě stejně jako Xellos (jen myslím, že Xellos si spletl $b_n$ s $a_n$ ).

Předpokládejme, že $\sum_{n=1}^{\infty }(b_n+\frac{(-1)^{n}}{ln(n+1)})a_n$ konverguje. Pak také řada
$\sum_{n=1}^{\infty }(b_n+\frac{(-1)^{n}}{ln(n+1)})a_n \frac{^{1}}{a^{n}}$ konverguje (podle Abelova kritéria).
Ta řada $\sum_{n=1}^{\infty }(b_n+\frac{(-1)^{n}}{ln(n+1)})a_n \frac{^{1}}{a^{n}}$ se však dá napsat taky jako $\sum_{n=1}^{\infty }(b_n+\frac{(-1)^{n}}{ln(n+1)})$ . To je ale divergentní řada, a tedy máme spor.
Stačí to takhle? Nechtělo se mi zacházet do podrobností.

Co se týče významu divergence řady reálných čísel - nemáš pravdu. Divergentní řada nemusí mít součet $\mp \infty$ . Vem si třeba řadu $\Sigma (-1)^{n}$ .
To ,že komplexní nebo reálná řada diverguje, znamená, že posloupnost částečných součtů té řady diverguje.

Ospli · 17. 06. 2014 16:20 — Editoval Ospli (17. 06. 2014 16:24)

↑ Jenda358: Jasně :)
Že je posloupnost divergentní tedy znamená, že buď limita neexistuje, nebo že je nevlastní.

Díky oběma :)

BTW. gratuluju, jednička se u Zajíčka moc nevidí :) Jak to zkoušení probíhalo? Já tam jdu zítra, ale bohužel se bude rozhodovat mezi jinými známkami.

Jenda358 · 17. 06. 2014 16:31

↑ Ospli:

Správně, když je posloupnost divergentní, tak to znamená, že buď limita neexistuje nebo je nevlastní.
Když je řada divergentní, tak to znamená, že její posloupnost částečných součtů je divergentní.

Díky. Vtipné je, že z lineární algebry mam za 2.
To zkoušení probíhalo tak, že se mě pan Zajíček zeptal na nějaké nejasnosti/chyby v důkazu D2 a dal mi čas na opravení té části důkazu, kterou jsem neměl v pořádku. Pak se mě ještě zeptal na lemmata O a omega. To bylo v podstatě všechno.

Hodně štěstí.

Xellos · 17. 06. 2014 18:48 — Editoval Xellos (17. 06. 2014 18:49)

↑ Ospli:

Ehm, prehodene $a_n$ a $b_n$ , sposobi to zmatok ale vidno z toho co dokazujem.

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2014 15:03

Důkaz divergence řady

#2 17. 06. 2014 15:19

Re: Důkaz divergence řady

#3 17. 06. 2014 15:47 — Editoval Ospli (17. 06. 2014 15:50)

Re: Důkaz divergence řady

#4 17. 06. 2014 16:08 — Editoval Jenda358 (17. 06. 2014 16:10)

Re: Důkaz divergence řady

#5 17. 06. 2014 16:20 — Editoval Ospli (17. 06. 2014 16:24)

Re: Důkaz divergence řady

#6 17. 06. 2014 16:31

Re: Důkaz divergence řady

#7 17. 06. 2014 18:48 — Editoval Xellos (17. 06. 2014 18:49)

Re: Důkaz divergence řady

Zápatí