Matematické Fórum

zdenek_s

dobré ráno všem
přiznávám, že absolutně netuším, google vrací odpovědi na rovnice 2. řádu.... mám najít obecné řešení rovnice

y'''+y'=-2x sin x

a pak mám najít partikální řešení vyhovující zadaným počátečním podmínkám

y (0) = 1
y' (0) = 0
y'' (0) = 2

a správnost řešení mám ověřit dosazením do diferenciální rovnice.

díky aspoň za nasměrování, zatím netuším, co s tím....
Z.

Jj · 17. 06. 2014 10:07

↑ zdenek_s:

Dobrý den. Pokud jsem špatně zapsané zadání správně vyluštil, jde o rovnici
$y'''+y'=-2x\sin x$ .

Řekl bych, že po substituci y' = z, y''' = z'' dostanete rovnici druhého řádu
$z''+z=-2x\sin x$ . Tuto po vyřešení a zpětné substituci ještě jednou integrujte.

Rumburak · 17. 06. 2014 10:10

Ahoj.

Tak třeba: Danou rovnici

$y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=-2x\sin x$

můžeme zintegrovat, tím dostaneme rovnici 2. řádu:

$y^{\prime\prime}+y = \int (-2x\sin x) \d x = ...$ ,

kde integrál vpravo vypočteme metodou per partes - nezapomeň přičíst integrační konstantu.
Rovnice 2. řádu jsou už "standardnější" a mnohokrát zde byly řešeny - později případně
najdu nějaký odkaz. Na prvním místě ale doporučuji prostudovat teorii.

PS. Neříkáme "partikální řešení", ale partikulární řešení.

zdenek_s · 17. 06. 2014 16:26

díky
pustil jsem se do toho a zatím mám po integraci
2x cos (x) - 2 sin (x) + c

charakteristická rovnice je
$\lambda ^{2} + 1 = 0$
pak
$\lambda _{1,2} = 0 \pm i$

Charakteristická rovnice má dva komplexně sdružené kořeny. a jdu studovat dál, protože zatím nemám pocit, že bych se přiblížil výsledku....

Jj · 17. 06. 2014 16:57 — Editoval Jj (17. 06. 2014 17:23)

↑ zdenek_s:

Řekl bych, že jste se k výsledku přiblížil, řešení homogenní rovnice bude v návaznosti na spočítaná $\lambda_{1,2} = \pm i\; :$

$y = Ae^{ix}+Be^{-ix}=A(\cos x + i \sin x) + B(\cos x - i \sin x)=$
$=(A+B)\cos x + i(A-B)\sin x = C_1\cos x + C_2\sin x$

Ale samozřejmě - terorie je nutná.

Xellos · 17. 06. 2014 19:06

Zasa je to len linearna ODR so specialnou pravou stranou.

Charakteristicky polynom: $p(\lambda)=\lambda^3+\lambda$ s korenmi $\lambda=0,\pm i$ . Fundamentalny system v $\mathbb{R}$ je teda

$\mathcal{H}=\left\lbrace1,\cos{x},\sin{x}\right\rbrace$

Prava strana je v tvare $p(x)\sin{\lambda_0 x}$ , kde $i\lambda_0$ je koren $p(\lambda)$ s nasobnostou 1. Existuje teda partikularne riesenie v tvare

$y(x)=x(r(x)\cos{x}+q(x)\sin{x})$

kde $r,q$ su polynomy stupna najviac 1: $r=Ax+B$ , $q=Cx+D$ . Dosadis a doratas cisla $A..D$ .

zdenek_s · 18. 06. 2014 09:08

ufff, tak moc děkuju. trošku jsem si zaderivoval a výsledkem je partikulární řešení rovnice:
$y(x) = \frac{3}{2}x \cos x + \frac{1}{2}x^{2}\sin x$

Obecné řešení asociované homogenní rovnice je
$C_{1}\cos x + C_{2}\sin x$

Obecné řešení je součtem partikulárního řešení a obecného řešení asociované homogenní rovnice, nebo se mýlím? pak by už stačilo tenhle součet zderivovat, dosadit počáteční podmínky a určit $C_{1}$ a $C_{2}$
jen mi nějak "nepasuje" na původní zadání, která bylo s třetí derivací (čekal bych ještě nějaké $C_{3}$ ... )

Díky, Z

Rumburak

↑ zdenek_s:

čekal bych ještě nějaké $C_{3}$ ...

Souhlasím.

Závisí to na zvolené metodě postupu.

Při té mnou navržené bude roli $C_{3}$ hrát ta integrační konstanta z úvodního kroku, kdy rovnici 3. stupně
integrujeme na rovnici 2. stupně.

Při metodě, kterou navrhl kolega ↑ Xellos: , máme fundamentélní systém $\mathcal{H}=\left\lbrace1,\cos{x},\sin{x}\right\rbrace$ ,
takže obecné řešení asociované homogenní rovnice (3. stupně) nebude $C_{1}\cos x + C_{2}\sin x$ , ale
$C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + C_3\cdot 1$ .

zdenek_s · 18. 06. 2014 10:18

díky, takhle už to dává větší smysl. dobral jsem se výsledku

všem moc díky za pomoc
Z

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2014 09:52 — Editoval zdenek_s (17. 06. 2014 10:11)

diferenciální rovnice 3. řádu

#2 17. 06. 2014 10:07

Re: diferenciální rovnice 3. řádu

#3 17. 06. 2014 10:10

Re: diferenciální rovnice 3. řádu

#4 17. 06. 2014 16:26

Re: diferenciální rovnice 3. řádu

#5 17. 06. 2014 16:57 — Editoval Jj (17. 06. 2014 17:23)

Re: diferenciální rovnice 3. řádu

#6 17. 06. 2014 19:06

Re: diferenciální rovnice 3. řádu

#7 18. 06. 2014 09:08

Re: diferenciální rovnice 3. řádu

#8 18. 06. 2014 09:37 — Editoval Rumburak (18. 06. 2014 09:38)

Re: diferenciální rovnice 3. řádu

#9 18. 06. 2014 10:18

Re: diferenciální rovnice 3. řádu

Zápatí