Matematické Fórum

SM · 18. 06. 2014 09:48

Dobrý den, prosím o kontrolu postupu

Mám zadanou rovnici:
$y^{,,}+y=6sin(x)$

s počátečními podmínkani:
$y(0)=7$
$y^{,}(0)=2$

Řešení:

Charakteristická rovnice: $k^{2}+1=0$
$k_{1}=-i$
$k_{2}=i$

$y_{OH}=C_{1}*cos(x)+C_{2}*sin(x)$

.
.
$6sin(x)=e^{ax}+(P(x)cos(bx)+Q(x)sin(bx)$
$a=0$
$b=1$ $\Rightarrow \alpha =0+i \Rightarrow k=1$
.
.
$y=x*(A*cos(x)+B*sin(x))$
$y^{,,}=-2A*sin(x)+2B*cos(x)-A*x*cos(x)-B*x*sin(x)$

$y^{,,}+y= -2A*sin(x)+2B*cos(x)$

$-2A*sin(x)+2B*cos(x)=6sin(x)$
$-2A=6 \Rightarrow A=-3$
$2B=0 \Rightarrow B=0$
.
.
$y_{ON}=C_{1}*cos(x)+C_{2}*sin(x)-3x*cos(x)$
$y^{,}_{ON}=-C_{1}*sin(x)+C_{2}*cos(x)-3*cos(x)+3x*sin(x)$

$C_{1}=7$
$C_{2}=5$
$y_{ON}=7*cos(x)+5*sin(x)-3x*cos(x)$

Mr. Lama · 18. 06. 2014 12:02

Ano, je to správně, spočítal jsem rovněž a souhlasí to. Pokud jsou další otázky tak napiš.

SM · 18. 06. 2014 12:36

V jakém případě by nastalo

$y_{OH}=C_{1}*cos(x)+C_{2}*sin(-x)$

hlavně v tomhle jsem si nebyl jistý, když vyšlo $k=\pm i$ , nepočítá se to jako $-1*i$ $1*i$ ?

Mr. Lama

Argument sinu a cosinu je vzdy stejny, takze to co pises nikdy nenastane.

Pokud se spokojis s laickym nazorem, tak prave to znamenko + a - ti vyjadruji výše zmiňované funkce sinus a cosinus, ta znaménka vyjadřují jejich vzájemný posun o pi/2.

Takže znaménko je dáno funkcí a do argumentu dosazuješ jen koeficienty před i

EDIT1: defakto známenko $\pm$ vůbec nemusíš řešit

EDIT2: Zde je odkaz na zdroj který říká tu samou myšlenku jako já, konkrétně bod 3.

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2014 09:48

Diferenciální rovnice 2. řádu

#2 18. 06. 2014 12:02

Re: Diferenciální rovnice 2. řádu

#3 18. 06. 2014 12:36

Re: Diferenciální rovnice 2. řádu

#4 18. 06. 2014 12:45 — Editoval Mr. Lama (18. 06. 2014 12:49)

Re: Diferenciální rovnice 2. řádu

Zápatí