Matematické Fórum

Kotletka · 18. 06. 2014 12:47

Ahoj,

mám takový problém (jinak bych sem nepsala, žejo - haha). Nu nějak jsem se snažila vymyslet řešení příkladů k lineárním formám a podle výsledků jsem zjiťovala, jak moc jsem vedle. Mám tyto příklady:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~stepanov … iFormy.pdf

Metodou pokus omyl a čtením nějakých skript, jsem dospěla k tomu, že jsem vypočítala správně příklady 4 - 7.

Počítala jsem těmito metodami:

-příklad 4

Lineární forma $\mathbb{R}^{3}$ má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření

$f(x)= 2x_{1}+x_{2}-5x_{3}$

Jaké je analytické vyjádření vzhledem k bázi

$\{(2,-1,1),(1,1,0),(2,3,-2)\}$ ?

Zní to hloupě, ale prostě jsem každej ten vektor nové báze dosadila do toho analytickýho vyjádření a číslo který mi vyšlo jsem dala do výsledku s indexem, jaký mají popořadě ty vektory nový báze. Vyšlo mi to podle výsledků.

-příklad 5

Lineární forma $\mathbb{R}^{3}$ má vzhledem k bázi

$\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$

analytické vyjádření

$f(x)= 3x_{1}+2x_{2}+5x_{3}$

Jaké je analytické vyjádření vzhledem ke kanonické bázi?

nu řekla jsem si, že když to šlo takto jedním směrem, udělám to obráceně druhým směrem. Nenapadlo mě, jak jinak to udělat, než vypočítat rce:

$x_{1}+x_{2}=3$
$x_{1}+x_{3}=2$
$x_{2}+x_{3}=5$

Zas mi to vyšlo, tak jsem zbylé příklady spočítala kombinací - nejdřív jsem přešla ke kanonické, pak k té další - zase mi to povycházelo. Spočítala jsem i pár příkladů odjinud.

No tak jsem si řekla, že to tak budu počítat. Šla jsem na test, počítala to takhle a nevyšlo mi to podle ofic výsledků (test nemám, nevím, jestli jsem tam neudělala nějakou chybu), ale navíc mi bylo řečeno, že tímto způsobem se to vůbec počítat nedá, protože to s tím vůbec nesouvisí. Moje otázka teda zní - jak se to počítá? A jaktože tímto způsobem vyjde tolik příkladů správně?

Kotletka · 18. 06. 2014 13:26

A ještě bych tedy dodala, že jsem se na to snažila zeptat doučujícího, který mi to nebyl schopen objasnit (on by to počítal jako já). A to, že je to špatný způsob, který s tím nesouvisí, mi bylo řečeno odbornou autoritou.

vanok · 18. 06. 2014 14:49 — Editoval vanok (18. 06. 2014 18:25)

Ahoj ↑ Kotletka:,
Kazde z tychto cviceni je ozaj jednoduche, ked ho spravne pochopis. ( to znamena, ze pouzijes presne definiciu danych pojmov)
Napriklad, tvoje cvicenie 4, znamena, ze ak kanonicka baza je $( \vec i, \vec j, \vec k)$ , tak $f(\vec i)=2$ ,...
Tebe ide v tomto pripade o urcenie obrazov $f(\vec i + \vec j),...,$
vdaka linearite $f$ mas $f(2\vec i - \vec j+\vec k)=2f(\vec i)-f(\vec j)+f(\vec k)=....$

Na testoch ( pokial nejde o krizikovanie) je dolezite a hodnotene aj vysvetlenie postupu riesenia.
( tvoje vysvetlenia, tak ako ich pises, vyssie su nedostatocne!... A vediet ako sa vyhodnocuje taky test mozes vediet podla barem hodnotenia, ale pozor, tieto baremy nemusia byt verejne)

Este, niekolko uvah co sa tyka cvicenia 5.
Presne podla principu co som napisal vyssie mas dane
$f(1,1,0)=3, f(1,0,1)=2,...$
Tvoj ciel je najst obrazy $f( \vec i),f( \vec j), f(\vec k)$ ,
Preto potrebujes vyjadrit kazdy z vektorov $( \vec i, \vec j, \vec k)$ pomocou vectorov $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$ a vyuzit linearitu formy $f$ .
Co ti umozni napisat aj jej analyticku forme v pytanej baze.

Vyuzi tieto jednoduche poznamky a uvidis, ze ide o nieco ozaj jednoduche.
Dobre pokracovanie.

Kotletka · 18. 06. 2014 15:07

A u té čtyřky, proč je $f(\vec i)=3$

Já jsem to pochopila tak nějak, že matice toho zobrazení je $(2,1,-5)$ a že j-tý sloupec matice homomorfismu je obrazem j-tého vektoru báze. To by pak bylo $f(\vec i)=2$ ne? Nebo ani ta předchozí věta neplatí?

vanok · 18. 06. 2014 15:29

↑ Kotletka:
Ano to je preklep... Je to 2.opravujem to aj v mojom prispevku.

Kotletka · 18. 06. 2014 15:41

Promiň mi, možná jsem natvrdlá, ale chápu to od tebe dobře tak, že v příkladu 4 mi jde o určení obrazů: $f(2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}),(\vec{i}+\vec{j}),...$

Protože jestli tomu tak je, tak se ty obrazy přeci určují přesně tak, jak jsem psala v prvním příspěvku ne?

Kotletka · 18. 06. 2014 16:05

A kdyžtak nějaký důvod, proč to vychází tím špatným způsobem nikoho nenapadá? Nebo příklad, kdy to nevychází?

vanok · 18. 06. 2014 18:22 — Editoval vanok (18. 06. 2014 18:42)

↑ Kotletka:,

Prave som sa vratil, tu mam vyse 30°a bez klimatizacie, cize hrozne.
Precital som ten moj prvy prispevok, a opravil som dalsie preklepy ( vlastne preto, ze som pozeral prve cvicenie, a zobral udaje z druheho... To aj preto treba davat do jedneho vlakna len jedno cvicenie)
Cvicenie 4.
V tom pripade to nemoze dat nic ine. A prave ta linearita f, da na to odpoved aj z dokazom.
Presne mas, $f( \vec i)=2,f( \vec j)=1, f(\vec k)=-5$
Teraz hladas obraz vektorov
$\{(2,-1,1),(1,1,0),(2,3,-2)\}$
Cize $f(2,-1,1)=2f(\vec i)-f(\vec j)+f(\vec k)=...$ tu je pouzita linearita, a zvysok mas dosadenim.

Poznamka: to som nepovedal, ze tvoj postup je spatny, ale ze v kazdom pripade musi byt dokazany.

vanok · 18. 06. 2014 18:39 — Editoval vanok (18. 06. 2014 18:46)

Pridavam ti este jeden krok v cviceni 5.
Lahko ukazes (vyber metodu ktora ti vyhovuje)
Ja som najprv konstatoval, ze $(1,1,0)+(1,0,1)+(0,1,1)=(2,2,2)$
Cize $\frac12.(1,1,0)+\frac12.(1,0,1)+\frac12.(0,1,1)=(1,1,1)=\vec i+\vec j +\vec k$
Z toho dostanes priamo:
$\vec i=\frac12.(1,1,0)+\frac12.(1,0,1)-\frac12.(0,1,1)$
$\vec j=\frac12.(1,1,0)-\frac12.(1,0,1)+\frac12.(0,1,1)$
$\vec k=-\frac12.(1,1,0)+\frac12.(1,0,1)+\frac12.(0,1,1)$
A ukoncis cvicenie vdaka linearite f.

Poznamka. Pochopitelne mozes pouzit aj vysledok zmien baz...( to je otazka co sa ti viac paci pouzivat)Ale najdolezitejsie je, ze treba rozumiet tomu co robis.

Kotletka · 18. 06. 2014 21:00

Tak teď jsem nalezla toto: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~vald/Cviceni_13.pdf

kde je to počítáno stejnou metodou, jakou jsem to dělala já. Musím teda říct, že to ve mně trochu otřáslo tou autoritou, která mi řekla, že to nelze:-/

Nicméně díky za lepší řešení i za ochotu, téma označuji jako vyřešené.

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2014 12:47

Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#2 18. 06. 2014 13:26

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#3 18. 06. 2014 14:49 — Editoval vanok (18. 06. 2014 18:25)

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#4 18. 06. 2014 15:07

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#5 18. 06. 2014 15:29

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#6 18. 06. 2014 15:41

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#7 18. 06. 2014 16:05

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#8 18. 06. 2014 18:22 — Editoval vanok (18. 06. 2014 18:42)

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#9 18. 06. 2014 18:39 — Editoval vanok (18. 06. 2014 18:46)

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

#10 18. 06. 2014 21:00

Re: Lineární formy - analytické vyjádření vzhledem k různým bázím

Zápatí