Matematické Fórum

Martin21000 · 18. 06. 2014 22:55

Zdravím,
potřeboval bych pomoct s jedním příkladem. Mám zjistit co platí pro rovnici 3x^9 + 12x^6 - 63x^3 = 0. Výsledkem má být, že všechna reálná řešení leží v intervalu <-3;4>.
Snažil jsem se ji vyřešit tím způsobem, že jsem si udělal substituci x^3 = a. Dále jsem pak už pokračoval v kubické rovnici, kde mi vyšly tři kořeny x1 = 0; x2 = 3; x3 = -7.

Děkuji za každou pomoc. :-)

byk7 · 18. 06. 2014 23:11

Možná by nebylo od věci napsat celé zadání.

1) Tvůj dotaz je formulován velmi vágně. Co znamená Mám zjistit co platí pro rovnici?

2) To, co ti vyšlo jako $x_1,x_2,x_3$ nejsou "ikska" ale "áčka", "ikska" musíš ještě dopočítat.
Vyjde ti, že $x_1=0,x_2=\sqrt[3]{3},x_3=-\sqrt[3]{7}$

3) A potom těch intervalů, které vyhovují, je nekonečně mnoho, nejmenší z nich je $\left\langle-\sqrt[3]{7},\sqrt[3]{3}\right\rangle$

maver · 18. 06. 2014 23:18

Když pro kontrolu dosadíš číslo 1, tak rovnice nevychází, takže nevím, zda ten výsledek je správný.

Vyšel mi stejný výsledek, jako tobě, jen opravuji: $x^{3}=3$

byk7 · 18. 06. 2014 23:21

↑ maver:

Všechna řešení leží v intervalu [-3,4], to ale nic neříká o tom, že všechna čísla z tohoto intervalu musí danou rovnici splňovat.

maver · 18. 06. 2014 23:22

není to u tohoto kořene spíš takto?
$x_3=\sqrt[3]{-7}$

a tím pádem řešení v C?

byk7 · 18. 06. 2014 23:44

Uvažujeme pouze reálná řešení.
A funkce $f(x)=\sqrt[3]{x}$ je lichá, takže $\sqrt[3]{-7}=-\sqrt[3]{7}$

Martin21000 · 18. 06. 2014 23:46

Příklad mám ze stránek vysoké školy. http://www.fit.cvut.cz/sites/default/fi … 0Bc_1C.pdf
Číslo příkladu 8.

Já to zkoušel jenom tímto způsobem, protože žádný jiný neznám. Netvrdím tedy, že to mám správně. :-) A ano sekl jsem se u toho, nedokončil jsem to.
Nikomu to tedy nevychází?

byk7 · 18. 06. 2014 23:54

a) b) c) zřejmě neplatí

platí d) protože
$\left\langle-\sqrt[3]{7},\sqrt[3]{3}\right\rangle\subset\langle-3,4\rangle$

Martin21000 · 19. 06. 2014 09:22

Tak díky za řešení :-)
Ale ještě mám otázku, jak jsi poznal, že to mínus má být před odmocninou a ne v ní? To se rozlišuje podle toho, jestli je sudá a nebo lichá to mocnina?

maver · 19. 06. 2014 10:34 — Editoval maver (19. 06. 2014 10:36)

nejlíp si to představíš na tomto příkladu:

$\sqrt[3]{-27} =-3$
je totéž jako:
$-\sqrt[3]{27} =-3$
$(-3) * (-3)* (-3)$

Eratosthenes · 19. 06. 2014 13:58

↑ maver:

ty si to představuješ takto

$\sqrt[3]{-27} =-3$

a já si to pak můžu představit takto

$\sqrt[3]{-27} = \left( -27\right) ^{\frac 1 3}=\left( -27\right) ^{\frac 2 6}= \sqrt[6]{\left( -27\right) ^2} =\sqrt[6]{729}=3$

byk7 · 19. 06. 2014 14:07

↑ Eratosthenes:

Ta rovnost $\left( -27\right) ^{\frac 1 3}=\left( -27\right) ^{\frac 2 6}$ je problematická.

Eratosthenes · 20. 06. 2014 10:25

↑ byk7:

Proč? Přece platí

$m=n \Rightarrow a^m=a^n$

a

$\frac 1 3 = \frac 2 6$

zdenek1 · 20. 06. 2014 10:34

↑ Eratosthenes:
ANo, to platí, ale jsou tam nějaké podmínky.
Buďto $m,n\in\mathbb Z$ a $a\in\mathbb R-\{0\}$ ,
nebo
$m,n\in\mathbb R$ a $a>0$

gadgetka · 20. 06. 2014 10:50

Ahoj, nemusíš počítat přes složitou kubickou rovnici, stačí na začátku vytknout $3x^3$ :
$3x^9 + 12x^6 - 63x^3 = 0$
$3x^3(x^6+4x^3-21)=0$

Tím je jeden kořen hned jasný $x_1=0$

A závorku můžeš řešit substitucí $x^3=a$ , nebo rozložením na čtverec:
$(x^3+2)^2-4-21=(x^3+2)^2-25=(x^3+2-5)(x^3+2+5)=(x^3-3)(x^3+7)$

A teď už je ta kubická rovnice přímo primitivní, viď? ;)

Eratosthenes · 20. 06. 2014 18:46

↑ zdenek1:

no právě, že pro $m,n\in\mathbb R$ musí být $a>0$ , což při

$\sqrt[3]{-27} =(-27)^{\frac 1 3}$

zjevně není splněno. "Rovnosti"

$\sqrt[3]{-27} =-3$

$\sqrt[3]{-7}=-\sqrt[3]{7}$

platí asi stejně jako

$\sqrt 4 =-2$

$\sqrt 4 =-\sqrt {-4}$

a podle mě patří do alchymie, ale ne do matematiky.

misaH · 20. 06. 2014 18:49

↑ Eratosthenes:

Treba si pozrieť definície.

Pokiaľ viem, v tomto prípade nepanuje zhoda.

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2014 22:55

Rovnice s exponentama

#2 18. 06. 2014 23:11

Re: Rovnice s exponentama

#3 18. 06. 2014 23:18

Re: Rovnice s exponentama

#4 18. 06. 2014 23:21

Re: Rovnice s exponentama

#5 18. 06. 2014 23:22

Re: Rovnice s exponentama

#6 18. 06. 2014 23:44

Re: Rovnice s exponentama

#7 18. 06. 2014 23:46

Re: Rovnice s exponentama

#8 18. 06. 2014 23:54

Re: Rovnice s exponentama

#9 19. 06. 2014 09:22

Re: Rovnice s exponentama

#10 19. 06. 2014 10:34 — Editoval maver (19. 06. 2014 10:36)

Re: Rovnice s exponentama

#11 19. 06. 2014 13:58

Re: Rovnice s exponentama

#12 19. 06. 2014 14:07

Re: Rovnice s exponentama

#13 20. 06. 2014 10:25

Re: Rovnice s exponentama

#14 20. 06. 2014 10:34

Re: Rovnice s exponentama

#15 20. 06. 2014 10:50

Re: Rovnice s exponentama

#16 20. 06. 2014 18:46

Re: Rovnice s exponentama

#17 20. 06. 2014 18:49

Re: Rovnice s exponentama

Zápatí