Matematické Fórum

Malibu Stacy · 19. 06. 2014 12:00

Zdravím Vás!

Už dělší dobu mám problém s tímto příkladem viz. foto

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/71421_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.jpg

Podle pascalova trojúhelníku to vypada na stejné číslo, jen si nevím rady s dokončením.

Pokus o výpočet:

Děkuju moc za radu!

Cheop · 19. 06. 2014 12:15 — Editoval Cheop (19. 06. 2014 12:18)

↑ Malibu Stacy:
Úpravou dostaneme:
$2{n^2-2\choose 2}=2\\\frac{(n^2-2)(n^2-3)}{2}=1\\n^4-5n^2+4=0$
Substituce $n^2=t$ a dopočítat

c) je správně

Xellos · 19. 06. 2014 12:23

↑ Cheop:

Tuto netreba rozpisovat, staci ze ${n\choose k}=1$ len ak $k=0$ alebo $k=n$ , takze $k=n$ , $n^2-2=2$ .

byk7 · 19. 06. 2014 12:27

Špatně si rozepisuješ kombinační číslo. Z definice je
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
takže
$\binom{n^2-2}{n^2-4}=\frac{$n^2-2$!}{$n^2-4$!$\(n^2-2$-$n^2-4$\)!}=\frac{$n^2-2$$n^2-3$}{2}$
to stejné uděláš i s druhým kombinačním číslem a dojdeš k rovnici
$$n^2-2$$n^2-3$=2$
(ke které si sice došla a velmi pochybnou a špatnou cestou)
a teď máš dvě možnosti, jak to vyřešit, řekneš si, že $t=n^2$ a řešíš kvadratickou rovnici
nebo si všimneš, že dvojka je prvočíslo a na levé straně máme pouze celočíselné činitele,
takže platí některá z těchto možností
$&n^2-2=2,\,n^2-3=1 \\ &n^2-2=1,\,n^2-3=2 \\ &n^2-2=-1,\,n^2-3=-2 \\ &n^2-2=-2,\,n^2-3=-1$

Ještě jiná možnost, vidíme, že
$\binom{n^2-2}{n^2-4}=\binom{n^2-2}{2}$
takže rovnice přejde do tvaru
$2\binom{n^2-2}{2}=2\ \ \Rightarrow\ \ \binom{n^2-2}{2}=1$
víme, že platí
$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$
a odtud už jde rovnou vidět, že je nutné, aby
$n^2-2=2$