Matematické Fórum

dvorijan · 29. 05. 2014 08:04

Čau, chtěl jsem se zeptat, jak se ověřují podmínky zaručující konvergenci pro metodu prosté iterace v řešení soustavy nelineárních rovnic.
Zda v té první podmínce se dosazují vždy jen KRAJNÍ body daných intervalů a jejich výsledky musí opět v daných intervalech ležet.. a vubec nechápu, jak se ověřuje druhá podmínka v níž je matice těch parciálních derivací . Vím, že její norma (např max ze součtu řádků) musí být menší než jedna, ale vubec nevím jaké body tam dosazovat.. Nevysvětlil by to někdo jak pro lajka?
Děkuji :-)

Rumburak

↑ dvorijan:

Ahoj.

Asi nejjednodušším teoretickým základem těchto metod je Banachova věta o pevném bodě kontrahujícího zobrazení
(tzv. Banachův princip kontrakce), případně některá jemnější věta tohoto druhu. Podle toho, o kterou z takových vět
se chceme opírat, dostaneme příslušnou metodu.

Jednoduchý příklad na použití Banachovy věty:

Máme uzavřený interval $[a, b]$ , zobrazení $f: [a, b] \to [a, b]$ a na uvažovaném intervalu řešíme rovnici

(1) $f(x) = x$ .

Existuje-li konstanta $K \in [0, 1)$ taková, že pro libovolná $u, v \in [a, b]$ je $|f(u) - f(v)| \le K\cdot |u-v|$ ,
potom rovnice (1) má právě jedno řešení, které navíc je limitou posloupnosti $(x_n)$ , v níž $x_1\in [a, b]$ lze určit
libovolně a další členy pak definujeme indukcí: $x_{n+1} := f(x_n)$ .

K tomu, aby podmínka $|f(u) - f(v)| \le K\cdot |u-v|$ pro libovolná $u, v \in [a, b]$ byla splněna, stačí, když
funkce $f$ má v každém bodě uvažovaného intervalu derivaci $f'$ (v krajních bodech bereme jednostrannou)
a platí-li

$\sup_{x \in [a, b]} |f'(x)| \le K$

(viz Lagrangeova věta o střední hodnotě).

Obecné znění Banachovy věty případně i její důkaz jistě někde na webu najdeš.