Matematické Fórum

roflSK · 20. 06. 2014 01:00

Zdravim, potreboval by som pomoct s tymto zadanim:
$\cos (2x+\frac{1}{3}\pi) = \frac{1}{2}$

Moj postup:
substitucia:
$a=2x+\frac{\pi}{3}$

pre x1:
$a1=\frac{\pi}{3} + 2k\pi\\ 2x_{1}+\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{3} + 2k\pi\\ x_1=\frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2}\\ x_1=\frac{0+2k\pi}{2}\\ x_1=k\pi\\$

pre x2:
$a2=\frac{5\pi}{3} + 2k\pi\\ 2x_{2}+\frac{\pi}{3} =\frac{5\pi}{3} + 2k\pi\\ x_2=\frac{\frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2}\\ x_2=\frac{\frac{4\pi}{3} + 2k\pi}{2}\\ x_2=\frac{4\pi}{6} + k\pi\\ x_2=\frac{2\pi}{3} + k\pi\\$

Spravny vysledok je: $-\frac{\pi}{3} + k\pi,k\pi$

Preco -pi/3? Dakujem.

gadgetka · 20. 06. 2014 01:16

Ahoj,
tvoje řešení je správné, řešení v učebnici též, protože $\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}$ , periodou řešení je $k\pi$ , tento kořen tedy můžeš zapsat i jako $-\frac{\pi}{3}+k\pi$ .

roflSK · 20. 06. 2014 13:26

Ahoj, takze aj uloha:
$cotg(x-\frac{1}{4}\pi) = -\sqrt{3}\\ \text{subst.:}~~~~a = x-\frac{\pi}{4}\\ cotg(a)= -\sqrt{3}\\ a=\frac{5\pi}{6} + k\pi\\ \text{dosadenie:}~~~~\\ x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6} + k\pi\\ x = \frac{13\pi}{12} + k\pi$

je spravne vyriesena, aj ked v knihe je $\frac{1}{12}\pi + k\pi$ lebo $\frac{13}{12}\pi -\pi = \frac{1}{12}\pi$ .
Chapem to spravne?

gadgetka · 20. 06. 2014 13:53

Ano. Když je perioda 180° a vyšel úhel 195°, výsledek se zapíše v základním úhlu $15° + k\cdot 180°$ . :)

roflSK · 20. 06. 2014 16:33 — Editoval roflSK (20. 06. 2014 16:34)

A co s tymto?

$2 cos^2(x) + sin^2(x) = \frac{3}{2}\\ 2(1 - sin^2(x))+sin^2(x) - \frac{3}{2} = 0\\ -sin^2(x) +\frac{1}{2} = 0\\ sin (x) = a\\ -a^2 +\frac{1}{2} = 0\\ a_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}\vee a_{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ sin (x_{1}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\vee sin (x_{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x_{1} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\vee x_{2} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\\$

v knihe je vysledok: $\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$

byk7 · 20. 06. 2014 16:37

↑ roflSK:

Zkus si ty hodnoty $x_1,x_2,x_3,x_4$ nakreslit na jednotkovou kružnici. Možná pak něco uvidíš. ;-)

roflSK · 20. 06. 2014 16:53

Takze moj vysledok je spravny, len to mam zlozito zapisane...No dobre aspon nieco. :D

roflSK · 20. 06. 2014 18:30 — Editoval roflSK (20. 06. 2014 18:33)

Ako postupovat v tomto pripade:
$sin (2x) - \sqrt{2}sin(x) = 0$

povodne som chcel pouzit subst.: sin(x) = a, ale to asi nebude cesta.

misaH · 20. 06. 2014 18:44

↑ roflSK:

sin2x=2sinx cosx

Vyňať sinx a dorátať.

roflSK · 20. 06. 2014 18:58 — Editoval roflSK (20. 06. 2014 18:59)

Len pre informaciu. Uz som to zacal riesit takto:
$2sin (x).cos(x) - \sqrt{2}sin(x) = 0 /^{2}\\ 4sin^2(x).cox^2(x) - 2sinx^2(x)=0\\ 4sin^2(x).(1-sin^2(x)) -2sin^2(x)=0\\ 4sin^4(x) + 2sin^2(x)=0$
dalej subst.: sin^2(x)=a
a tak dalej. Je to spravny postup? Dospel by som tak k rieseniu?

misaH · 20. 06. 2014 20:25 — Editoval misaH (20. 06. 2014 20:33)

↑ roflSK:

Zle si umocnil ľavú stranu, treba podľa $(a-b)^2$

Vyzerá to strašne zložito vzhľadom na to, aké to je jednoduché.

Už len to, že umocňovanie nie je ekvivalentná operácia.

Vyjmi sinx z prvej rovnice a dorátaj.

roflSK · 21. 06. 2014 15:23

OK. Dakujem. Je to urcite schodnejsia cesta.

Aky postup zvolit v tychto prikladoch?

$cos^2 (2x) - sin^2 (2x) = 1$

$tg^2(x)+ tg (x) = 0$

Ten druhy som sa snazil riesit takto:
$|tg (x)| + tg(x) = 0\\ \text{Nulovy bod:} ~tg(x) = 0 ~~~-> x=k\pi\\ \text{zaporny:} (-\frac{\pi}{2}+k\pi;k\pi)\\ \text{kladny:} (k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi)\\$

zaporny interval:
- tg(x) + tg(x) = 0
tg(x) = tg(x) -> plati vzdy
x = $(-\frac{\pi}{2}+k\pi;k\pi)$

kladny interval neplati.

v knihe je vysledok $-\frac{\pi}{4} + k\pi, k\pi$
Nerozumiem, ako to mam riesit.

byk7 · 21. 06. 2014 15:39

1) $\cos^2(2x)+\sin^2(2x)=1$

2) jak jsi od $\tan^2(x)+\tan(x)=0$ došel k $|\tan(x)|+\tan(x)=0$ ?
spíš se pokus levou stranu rozložit na součin

roflSK · 21. 06. 2014 15:55 — Editoval roflSK (21. 06. 2014 15:57)

v jednej knihe mam: rovnica cotg^2(x) = 1 je ekvivalentna rovnici |cotg (x)| = 1. tak neviem, asi som to zle pochopil a potom aj zle pouzil.

byk7 · 21. 06. 2014 16:00

↑ roflSK:

To je sice pravda, ale $\tan^2(x)+\tan(x)=0$ není ekvivalentní s $|\tan(x)|+\tan(x)=0$ .

Spíš si to "zle použil".

byk7 · 21. 06. 2014 16:18

↑ roflSK:

to ale není pravda, porovnej y=|tan(x)|

a y=tan^2(x)

roflSK · 21. 06. 2014 16:51

OK, mas pravdu.

Takto som riesil tie 2 priklady (↑ roflSK:):
1.
$cos^2 (2x) - sin^2 (2x) = 1\\ 2x=a\\ -(cos^2(a)+sin^2(a))=1\\ -2sin^2(a) =0\\ a=k\pi\\ x = a/2\\ x = \frac{k\pi}{2}$

2.
$tg^2(x) + tg(x)=0\\ tg(x)(tg(x)+1)=0\\ 1.~~tg(x) =0\\ x = k\pi\\ 2.~~ tg(x)+1 =0\\ tg(x) = -1\\ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi = -\frac{\pi}{4}+k\pi\\ -----------\\ x= -\frac{\pi}{4}+k\pi, k\pi$

Povedal by som, ze teraz je to uz dobre.

gadgetka · 21. 06. 2014 17:07

První příklad jde řešit i takto:
$\cos^2 (2x) -\sin^2 (2x) = 1$

Když $\cos^2 (x) - \sin^2 (x) = \cos(2x)$ , pak $\cos^2 (2x) - \sin^2 (2x) =\cos(4x)$

A můžeš přímo řešit:
$\cos(4x)=1$

Matematické Fórum

#1 20. 06. 2014 01:00

Goniometricke rovnice

#2 20. 06. 2014 01:16

Re: Goniometricke rovnice

#3 20. 06. 2014 13:26

Re: Goniometricke rovnice

#4 20. 06. 2014 13:53

Re: Goniometricke rovnice

#5 20. 06. 2014 16:33 — Editoval roflSK (20. 06. 2014 16:34)

Re: Goniometricke rovnice

#6 20. 06. 2014 16:37

Re: Goniometricke rovnice

#7 20. 06. 2014 16:53

Re: Goniometricke rovnice

#8 20. 06. 2014 18:30 — Editoval roflSK (20. 06. 2014 18:33)

Re: Goniometricke rovnice

#9 20. 06. 2014 18:44

Re: Goniometricke rovnice

#10 20. 06. 2014 18:58 — Editoval roflSK (20. 06. 2014 18:59)

Re: Goniometricke rovnice

#11 20. 06. 2014 20:25 — Editoval misaH (20. 06. 2014 20:33)

Re: Goniometricke rovnice

#12 21. 06. 2014 15:23

Re: Goniometricke rovnice

#13 21. 06. 2014 15:39

Re: Goniometricke rovnice

#14 21. 06. 2014 15:55 — Editoval roflSK (21. 06. 2014 15:57)

Re: Goniometricke rovnice

#15 21. 06. 2014 16:00

Re: Goniometricke rovnice

#16 21. 06. 2014 16:11 Příspěvek uživatele roflSK byl skryt uživatelem roflSK. Důvod: Nezmysel :)

#17 21. 06. 2014 16:18

Re: Goniometricke rovnice

#18 21. 06. 2014 16:51

Re: Goniometricke rovnice

#19 21. 06. 2014 17:07

Re: Goniometricke rovnice

Zápatí