Matematické Fórum

ondro · 21. 06. 2014 16:59

ahojte, mam urcite objem telesa ktory je ohraniceny paraboloidom $z=3-x^2-2x-y^2$ a rovinou z = 0.
Ako urcim tie medze k potrebne na vypocet integralu integralu?

Dakujem

jelena · 21. 06. 2014 17:48

Zdravím,

začni přepisem pravé strany na "středový tvar", abys při z=0 viděl kružnici, která vymezuje podstavu paraboloidu. Vrchol paraboloidu bude nad středem kružnice v podstavě. Podaří se pokračovat? Děkuji.

ondro · 21. 06. 2014 17:59

↑ jelena:

takto? $(x-1)^2-1+(y-0)^2-3=0$ a s toho $(x-1)^2+(y-0)^2=4$ a co dalej s tym?

jelena · 21. 06. 2014 18:24

↑ ondro:

děkuji, mám to trošku jinak (v závorce pro x) $0=3-x^2-2x-y^2$ , potom $0=-3+x^2+2x+y^2$ , tedy
$(x+1)^2-1+(y-0)^2-3=0$ , odsud v podstavě je kružnice $(x+1)^2+y=4$ - určíme střed a poloměr.

Paraboloid přepíšeme do tvaru $z=4-(x+1)^2-y^2$ - určíme vrchol paraboloidu.
Z toho už bys měl mít hranice (možná bude prospěšné převádět do válcových souřadnic).

ondro · 21. 06. 2014 18:40

↑ jelena:

Neviem aj tak ako by som dostal z toho tie hranice :/ pomohli by ste mi s tym?

jelena · 21. 06. 2014 19:00

Ještě zkus pokračovat:
$(x+1)^2+y=4$ - jaký je střed a poloměr? Zkus si kružnici zakreslit, bude vidět meze.
$z=4-(x+1)^2-y^2$ - vrchol je nad středem kružnice podstavy a $z=4$ (jak jsem to vypočetla?). Tedy omezení po z již máme.

Máš v plánu využívat válcové souřadnice? Děkuji.

ondro · 21. 06. 2014 19:35

↑ jelena:

Polomer je 2 a stred bude {-1,0}.
Hranice su $-2\le y\le 2$ a $-1\le x\le 3$ $0\le z\le 4$

jelena · 21. 06. 2014 20:05

↑ ondro:

děkuji, pokud střed bude {-1,0}, potom je $-3\le x\le 1$ . omezení pro y bychom potřebovali zapsat ve tvaru $f_1(x)\le y\le f_2(x)$ (vyjádřením z rovnice kružnice), meze pro z souhlasím.

Co válcové souřadnice?

ondro · 21. 06. 2014 20:55

↑ jelena:

tak stred je (1,0) ? neviem pohnut s tymi hranicami Y ake maju byt?
Lepsie je použiť valcove suradnice?

jelena · 21. 06. 2014 21:22 — Editoval jelena (22. 06. 2014 09:08)

↑ ondro:

ne, střed byl v pořádku, meze pro x jsou jinak, tak mi vyšlo $-3\le x\le 1$ (o 2 jednotky nalevo a napravo od středu). Nakreslil jsi to?

pro y vyjádříme z $(x+1)^2+y=4$ , tedy $y=\pm \sqrt{4-(x+1)^2}$ (to by dávalo horní a dolní mez pro y). Ovšem paraboloid je symetrický, tak můžeme počítat jen polovinu objemu nad půlkruhem $0\le y\le \sqrt{4-(x+1)^2}$ , potom vynásobit 2.

Ohledně transformace souřadnic - to si zvaž, jak je pro Tebe pohodlnější.

EDIT: ještě v předchozích příspěvcích jsme sice prodiskutovali, v jakých hodnotách se pohybuje z, ale horní omezení pro z je dáno zadanou funkci $z=4-(x+1)^2-y^2$ a dolní omezení $z=0$

ondro · 22. 06. 2014 12:06

↑ jelena:

ked si to dam do valcovych suradnic vyzera to takto?

$y=\varrho*sin*\varphi$ $\varrho = (ro)$
$x=\varrho *cos*\varphi$ tak hranice budu? $0\le \varphi \le \frac{\Pi }{2}$ a $0\le \varrho \le 1$

Horne ohranicenie z: $Z_{h}= 4-(\varrho*cos*\varphi )^2-1-(\varrho^2*sin^2*\varphi) = 3-\varrho^2$
Dolne ohranicenie z: $Z_{d}=0$
integral : $V=2\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(3-\varrho^2)d\varphi d\varrho$

je to spravne??

Ďakujem

jelena · 22. 06. 2014 17:03

↑ ondro:

to asi ne, $0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$ dává pouze čtvrtkruh (to bys počítal čtvrt tělesa, tedy násobit 4, ne 2), ale $0\le \varrho \le 1$ dává poloměr pouze 1. To by chtělo předělávat. Také chyběl Jakobian transformace ( $\rho$ ).

ondro napsal(a):
$Z_{h}= 4-(\varrho*cos*\varphi )^2-1-(\varrho^2*sin^2*\varphi) = 3-\varrho^2$

Ve této transformaci vypadlo 2x ze zadání.

Ale řekla bych, že pro výpočet objemu "není podstatné", jak je umístěn paraboloid v prostoru. Můžeme ho "posunout tak, aby střed paraboloidu byl nad středem souřadnic, tedy místo (x+1) zavedeme substituci $x_1=x+1$ , meze $-2\le x_1\le2$ . A budeme počítat objem pod paraboloidem $z=4-(x_1)^2-y^2$ nad rovinou z=0.

potom počítáme (čtvrť paraboloidu násobeného 4) $V=4\int_{0}^{2}$\int_{0}^{\sqrt{4-(x_1)^2}}(4-(x_1)^2-y^2)\d y$\d x_1$

Měla bych vymyslit jiné označení pro substituci, ale tak se mi zdá více přehledné ( $x_1$ )

V válcových (ale používáš jen dvojný integrál, tedy v polárních) po mé transformaci x budeme mít Tvoji transformaci (jen bez * mezi sin a jeho argumentem, to se nepíše).
$y=\varrho\cdot \sin \varphi$
$x_1=\varrho \cdot \cos \varphi$
$0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$
$0\le \varrho \le 2$ ,
tedy 4násobek objemu na čtvrtkruhem $V=4\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(4-\varrho^2)\rho d\varphi d\varrho$

Je to tak přehledné (a snad v tom nemám nějaký nepořádek)? Děkuji.

ondro · 22. 06. 2014 18:38

↑ jelena:

Ďakujem je to pekne vysvetlené, len niesom si isty ci dobre chapem tej substitucii (x1=x+1) => Čiže nie je podstatne ako je umiestnený v priestore, ked pocitame jeho objem?. Tym padom by som ho mohol posúvať aj dalej napr: 0<x<4??A este nechapem preco to moje ohranicenie $0\le \varrho \le 1$ bolo zle? Kedze medze na x sú: $-3\le x\le 1$

Dakujem

jelena · 22. 06. 2014 21:13 — Editoval jelena (22. 06. 2014 21:14)

↑ ondro:

aby nedošlo k nějakému nedorozumění - co je a co není podstatné. Můžeš se na to dívat čistě geometricky. Rovnice $z=3-x^2-2x-y^2$ a rovina z = 0 zadávají část rotačního paraboloidu, který jsme dokázali přesně popsat, tedy není problém úplně stejný paraboloid nad úplně stejným kruhem v základně si představit v jiném (lépe popisovatelném umístění). Jen místo $z=3-x^2-2x-y^2$ si představíme $z=4-x^2-y^2$ . Můžeš porovnat, že je to stejný paraboloid. To je jako přesunout stůl o kousek dál.

Můžeme si to dovolit i proto, že uvažujeme všude stejnou hustotu, který není závislá na poloze tělesa v prostoru. Pokud by hustota byla závislá jako nějaká funkce $f(x,y)$ , potom bychom takový přesun nemohli dovolit bez dalších úvah.

-------------------------------
Druhá varianta pohledu - určitě si dovedeš představit substituci v určitém integrálu např $\int_0^3(x-1)\d x$ můžeme počítat tak, že zavedeme substituci $x-1=t$ , $\d x=\d t$ , $0\le x\le 3$ změníme meze při změně proměnné na $-1\le t\le 2$ a vypočteme.

Prakticky tento krok jsem použila na integrál
$\int_{-3}^{1}$\int_{0}^{\sqrt{4-(x+1)^2}}(4-(x+1)^2-y^2)\d y$\d x$ , zavedením $(x+1)=t$ máme
$\int_{-2}^{2}$\int_{0}^{\sqrt{4-t^2}}(4-t^2-y^2)\d y$\d t$ zde je hlavně vidět posun mezí z $-3\le x\le 1$ na $-2\le t\le 2$ tedy symetricky okolo středu souřadnic.

A v tomto stavu můžeme i transformovat do polárních.

--------------------------------
Také můžeš prozkoušet vyjádření mezí pokud transformaci provedeme rovnou do
$0=3-\rho^2 \cdot \cos^2 \varphi-2\rho \cdot \cos \varphi-\rho^2 \cdot \sin^2\varphi$

Zde se dostaneš ke kvadratické rovnici pro $\rho$ , ale na procvičení se může hodit. Bohužel, nemohu si vybavit žádné téma, ve kterém se to podrobněji probíralo, bohužel na nějaké klíčová slova se mi zatím nepodařilo najít (tipuji, že by mohlo být od kolegy Rumburaka).

Tym padom by som ho mohol posúvať aj dalej napr: 0<x<4??A este nechapem preco to moje ohranicenie $0\le \varrho \le 1$ bolo zle? Kedze medze na x sú: $-3\le x\le 1$

posouvat stůl, pokud ho netransformuješ, určitě můžeš :-) Ovšem meze pro $\rho$ musí dávat, že pomocí průvodiče dosáhneš z prostředku stolu po celé jeho desce. Tvé $0\le \varrho \le 1$ umožní setřít tak střed stolu (v základně máme kružnici o poloměru 2 jednotky).

Zkus se v tom, prosím, zorientovat a dodělat (i včetně řádné transformace do polárních bez posunu).

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2014 16:59

Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#2 21. 06. 2014 17:48

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#3 21. 06. 2014 17:59

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#4 21. 06. 2014 18:24

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#5 21. 06. 2014 18:39 Příspěvek uživatele ondro byl skryt uživatelem ondro. Důvod: ad

#6 21. 06. 2014 18:40

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#7 21. 06. 2014 19:00

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#8 21. 06. 2014 19:35

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#9 21. 06. 2014 20:05

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#10 21. 06. 2014 20:55

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#11 21. 06. 2014 21:22 — Editoval jelena (22. 06. 2014 09:08)

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#12 22. 06. 2014 12:06

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#13 22. 06. 2014 17:03

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

ondro napsal(a):

#14 22. 06. 2014 18:38

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

#15 22. 06. 2014 21:13 — Editoval jelena (22. 06. 2014 21:14)

Re: Objem telesa ohraničeneho paraboloidom

Zápatí