Matematické Fórum

aww · 21. 06. 2014 09:26

Dobrý den, mám tento příklad:
$y''-2y'+10y=e^{-x}sin(3x)$

zjistím si kořeny
$\lambda ^2-2\lambda+10=0$

$\frac{2\pm \sqrt{-36}}{2}=1\pm 3i$

$y_0=e^{-x}(C_1\cos (3x)+C_2 sin(3x))$

$y_p=xe^{-x}(Acos(3x)+Bsin(3x))$

a problém nastává zde, když mám dvakrát zderivovat $y_p$ zderivovat bych to uměl ale pak mám $y_p''$ na půl stránky a když to mám dosadit zpět do zadání tak je to ještě delší, řešil jsem podobný příklad na zkoušce a už jsem nestíhal ho dopočítat. Měl bych to prý řešit raději přes mocninou metodu, googlil jsem a našel jen na tomto fóru, řešení přes mocninou řadu. Ale zdá se mi, že mi poskytne špatný výsledek. Toto je výsledek, ke kterému se potřebuji dobrat

$y=e^x(Asin(3x)+Bcos(3x)-\frac{x}{6}cos(3x))$

usoudil jsem, že to asi nebude to co potřebuji, ale mohu se mýlit, proto sem píši. Abyste mi potvrdili, zda řešení přes mocninou řadu je mocniná metoda, popřípadě jak mám postupovat.

Eratosthenes · 21. 06. 2014 09:47

↑ aww:

A proč máš $y_0=e^{-x}...$ ?

aww · 21. 06. 2014 09:55

↑ Eratosthenes:
sorry tam by mělo být $e^x$ , jsem zapoměl, že se to bere z kořene, to na tom ale nic nemění, řekl bych.

Eratosthenes · 21. 06. 2014 20:57

↑ aww:

Já bych řekl, že jo:

$y_p=e^{-x}(Acos(3x)+Bsin(3x))$

Jozef3 · 22. 06. 2014 08:22

↑ aww:
Dobrý den.
A v zadání té rovnice má být skutečně na pravé straně $e^{-x}sin(3x)$ nebo jste se také spletl? Pokud jste se nespletl, tak v tomto případě nemůžete použít metodu speciálních pravých stran a musíte tu rovnici řešit variací konstant.

aww · 22. 06. 2014 09:44

↑ Jozef3:
Dobrý den,
nespletl jsem se, jen to neumím řešit jiným způsobem a nevěděl jsem, že se to liší. Jak poznám, kdy mám použít metodu speciálních pravých stran a kdy variaci konstant?

Jozef3 · 22. 06. 2014 10:27

↑ aww:
Omlouvám se, metodu speciálních pravých stran zde použít můžete. Ta vede k cíli, když je pravá strana ve tvaru $Q(x)e^{\lambda x}$ pro $\lambda \in \mathbb{R}$ a Q polynom (původně jsem myslel, že $\lambda$ musí být kořenem char. polynomu, ale není tomu tak). Řešení však závisí na tom, jakou má $\lambda$ násobnost jako kořen char. polynomu, tedy vizte radu kolegy Eratosthena a dojdete k řešení.

Poznámka: Mám negativní zkušenost s tím, že někteří studenti jsou líní a neučí se metodu variace konstant. Doporučuji však se ji naučit, neboť ta vede k řešení pro každou lineární diferenciální rovnici.

aww · 22. 06. 2014 16:19

↑ Eratosthenes:
Jsem krapet zmaten, myslel jsem, že když je kořen s imaginárním číslem, tak má být $y_p$ takto

$y_p=xe^{-x}(Acos(3x)+Bsin(3x))$

dle toho návodu v tabulce na straně 2, 4 řádek

Jozef3 · 22. 06. 2014 16:35

↑ aww:
V tom návodu se píše, že exponent x v partikulárním řešení je číslo k, což je násobnost čísla $\alpha +\beta j$ jako kořene char. polynomu. Ve Vašem případě je násobnost čísla $-1 + 3j$ jako kořene char. polynomu 0, takže partikulární řešení má tvar, jaký uvedl kolega Eratosthenes.

aww · 22. 06. 2014 17:01

↑ Jozef3:
děkuji, už to vidím

snažím se pochopit tu variaci konstanty, tam k vytvoření y partikulární jsou též nějaké vzorce? chápu, že vytvořím $y_p$ ten dvakrát zderivuju, vytáhnu z toho a', b', ty dosadim do matice a vypočítám determinant který pak zase z integruju a dosadím zpět do $y_p$ , ale nějaká pravidla nebo vzorce tam popsány nejsou

aww · 22. 06. 2014 19:20

tak už jsem na to jakš takš přišel, můžete se mrknout jestli to mám postup zhruba dobře?

$y_0=e^x(C_1cos(3x)+C_2sin(3x))$

$C_1'(x)e^xcos(3x)+C_2'(x)e^xsin(3x)=0$
$C_1'(x)(e^xcos(3x)-3e^xsin(3x))+C_2'(x)(e^xsin(3x)+3e^xcos(3x))=0$

$w=3e^{2x}cos^2(3x)-3e^{2x}sin^2(3x)$
$w_1=-sin^{2}(3x)$
$w_2=cos(3x)sin(3x)$

$C_1'(x)=\frac{w_1}{w}=\frac{-sin^2(3x)}{3e^{2x}(cos^2(3x)-sin^2(3x))}$
$C_2'(x)=\frac{w_2}{w}=\frac{cos(3x)sin(3x)}{3e^{2x}(cos^2(3x)-sin^2(3x))}$

pak už jen zintegrovat tuhle šílenost

Jozef3 · 22. 06. 2014 19:20

↑ aww:
Je tam napsáno, že nejprve uděláte odhad partikulárního řešení (v tom příkladě tvaru $y_{p}= a(x)sint + b(x)cost$ ). Ale funkce a(x) a b(x) jsou neznáme, tak je právě musíte vypočítat jako řešení té soustavy dvou rovnic o dvou neznámých (ve Vašem textu je ta soustava řešena pomocí Cramerova pravidla, ale samozřejmě můžete použít jakoukoliv jinou metodu řešení soustav lineárních rovnic). Poté, co funkce a(x) a b(x) vypočtete, tak je dosadíte do odhadu partikulárního řešení a získáte tak skutečné partikulární řešení.

Jozef3 · 22. 06. 2014 19:24

↑ aww:
Dobře to nemáte. Ve Vámi napsané třetí rovnici má být na pravé straně místo nuly pravá strana původní rovnice, tj. $e^{-x}sin(3x)$ .

aww · 22. 06. 2014 20:05

↑ Jozef3:
Jasně, to jsem tam zapoměl napsat. Ale postup zůstal stejný, zkusím si ještě nějaké lehčí příklady, abych se to trochu naučil. Ještě jednou vám děkuju za čas a ochotu.

Jozef3 · 22. 06. 2014 20:56

↑ aww:
Hlavně tam však nemáte dobře ještě jednu věc. V té soustavě rovnic s derivacemi funkcí $C_{1}(x)$ a $C_{2}(x)$ se vůbec nikde nemá vyskytovat to $e^{x}$ . Tím, že jste ho tam napsal, jste jednak napsal nesprávnou soustavu a jednak je ta soustava nebetyčně složitější než ta správná.

aww · 22. 06. 2014 22:19

↑ Jozef3:
dobře, už jsem z toho pitomej :-) takže bez e^x

$C_1'(x)cos(3x) + C_2'sin(3x)=0$
$C_1'(x)-3sin(3x)+C_2'(x)cos(3x)=e^{-x}sin(3x)$

$w=3(cos^2(3x)+sin^2(3x))=3$
$w_1=-e^{-x}sin^2(3x)$
$w_2=e^{-x}cos(3x)sin(3x)$

$C_1'(x)=\frac{-e^{-x}sin^2(3x)}{3}$
$C_2'(x)=\frac{e^{-x}cos(3x)sin(3x)}{3}$

asi stále dělám někde chybu, jelikož se mi to zdá složité na integrování a nebo to není vhodný příklad pro metodu variace konstanty

Jozef3 · 23. 06. 2014 07:59

↑ aww:
Toto už by se zintegrovat na koleně dalo. Pro integrování goniometrických funkcí se občas vyplatí znát vzorce $sin^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}$ a $cos^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}$ .
Dále je dobré vědět, že integrály typu $\int_{}^{} e^{ax}sinbx\ dx$ a $\int_{}^{} e^{ax}cosbx\ dx$ se dají spočítat dvakrát per partes.
Jinak platí, že pokud má rovnice speciální pravou stranu, použijte k jejímu řešení metodu speciálních pravých stran. Variace konstant je časově náročnější, ale je třeba ji umět, protože vede k řešení pro každou lineární diferenciální rovnici.

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2014 09:26

Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#2 21. 06. 2014 09:47

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#3 21. 06. 2014 09:55

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#4 21. 06. 2014 20:57

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#5 22. 06. 2014 08:22

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#6 22. 06. 2014 09:44

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#7 22. 06. 2014 10:27

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#8 22. 06. 2014 16:19

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#9 22. 06. 2014 16:35

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#10 22. 06. 2014 17:01

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#11 22. 06. 2014 19:20

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#12 22. 06. 2014 19:20

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#13 22. 06. 2014 19:24

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#14 22. 06. 2014 20:05

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#15 22. 06. 2014 20:56

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#16 22. 06. 2014 22:19

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

#17 23. 06. 2014 07:59

Re: Diferenciální rovnice druhého řádu - mocniná metoda

Zápatí