Matematické Fórum

Edy · 21. 06. 2014 15:17

Dobrý den,
na zkoušce z kinematiky často řešíme příklady na integrály a arcsin.
Máme třeba příklad $\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{11 +k x^{2}}}=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{11 -(-k x^{2})}}$
což vím, že se rovná $\frac{1}{\sqrt{-k}}\cdot arcsin(\frac{(\sqrt{-k})\cdot x}{\sqrt{11}})$
Dalo by se to i logicky odvodit, ale nevím, jaká je na to zvolená substituce.
Můžete mi prosím poradit?

Bati · 21. 06. 2014 15:31

Zdravím ↑ Edy:.
To, jakou substituci použít se snadno dá odvodit z toho, co chceme, abychom tam dostali. Tady např. chceme, aby $x^2=\frac{11}{k}\,t^2$ . Teď to stačí jen upravit. Pozor na ty mínusy, je třeba napsat, jaké je $k$ , abychom mohli psát $\sqrt{k}$ a $\sqrt{-k}$ .

Edy · 21. 06. 2014 15:43

↑ Bati:
Zdravím.
Nechápu. Nevím co mám dosadit do té odmociny za substituci.

Edy · 21. 06. 2014 16:50

Když to zderivuju, tak tam budu mít vždycky 2 proměnný a tím pádem to nemůžu integrovat.

Bati · 21. 06. 2014 17:03

↑ Edy:
$x^2=\frac{11}{k}\,t^2$ , takže $x=\pm\sqrt{\frac{11}{k}}t$ .

Edy · 21. 06. 2014 18:07

↑ Bati:
No tohle chápu. Ale vždycky nebudu moct si tu substituci vycucat z výsledku. Jsou tady příklady třeba, kdy je před tou 11 mínus. Co pak?

Bati · 21. 06. 2014 18:13 — Editoval Bati (21. 06. 2014 18:15)

↑ Edy:
Jestliže máš integrál typu $\int\frac1{\sqrt{a+bx^2}}$ , kde $b>0$ , tak z toho arkussinovej integrál nikdy neuděláš. Jinak řečeno, ty znamínka určujou to, jakou substituci volit, proto jsem taky upozorňoval na to $k$ .

Edy · 21. 06. 2014 18:20 — Editoval Edy (21. 06. 2014 18:20)

↑ Bati:

Ok. Můžeš mi prosím tě ukázat, jak vypadá ten integrál s tou substitucí v té odmocině? Protože před tím arcssinem, mi tam vznikne $\frac{1}{\sqrt{-k}}$ a já netuším jak. Jsem zvyklej substituci derivovat a předpokládám, že by tam toto mělo vzniknout. Taky jsem zvyklej že po derivaci mi tam zůstane jenom jedna proměnná, protože jinak je to přece blbost.

Bati · 21. 06. 2014 18:24

↑ Edy:
To můžu, ale aby bylo všechno jasný, tak prosím zadej přesně to, co chceš spočítat a pokud se v zadání vyskytnou nějaký konstanty, tak napiš jestli jsou kladný nebo ne.

Jinak, tady máš všechny integrály tohoto typu.

Edy · 21. 06. 2014 18:30

↑ Bati:
Jde o ten příklad, co jsem zadal hned na začátku. K je záporný

Bati · 21. 06. 2014 18:42 — Editoval Bati (21. 06. 2014 18:43)

↑ Edy:
Ok, v tom případě musím dát substituci $x=\sqrt{-\frac{11}{k}}\,t$ (aby se po umocnění zkrátilo k, vytkla 11 a aby to bylo kladné pod odmocninou). Pak $\text{d}x=\sqrt{-\frac{11}{k}}\,\text{d}t$ a
$\int\frac1{\sqrt{11+kx^2}}\,\text{d}x=\int\frac1{\sqrt{11-11t^2}}\sqrt{-\frac{11}{k}}\,\text{d}t=\sqrt{-\frac{1}{k}}\int\frac1{\sqrt{1-t^2}}\,\text{d}t$ .

Edy · 21. 06. 2014 18:58

↑ Bati:
ok, děkuju moc. A pokud nastane situace, že bych v zadání před tou 11 měl mínus, tak se budu ubírat jakým směrem? :)

Bati · 21. 06. 2014 19:04 — Editoval Bati (21. 06. 2014 19:05)

↑ Edy:
V tom případě je ten příklad blbě zadaný, protože výraz pod odmocninou je vždy záporný.
Může ale ještě typově nastat případ $\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ , což se řeší tangensovou substitucí, nebo případ $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ , který se dá řešit třeba substitucí $\cosh{t}$ , ale i jinak.

Edy · 21. 06. 2014 19:26

↑ Bati:
ok, díky moc. To bude ode mě vše

Edy · 21. 06. 2014 20:31

↑ Bati:

Aha, myslel jsem teda případ, kdy je K kladné, ale před 11 mínus.

Edy · 21. 06. 2014 21:02 — Editoval Edy (21. 06. 2014 21:06)

pokud mám příklad:
kde "k" je kladné

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{kx^{2}-5}}$

Tou substitucí by mi vyšlo $\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5t-5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{k}}=$ $\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{t-1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{k}}=$ mě zajímá jestli můžu udělat toto $\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{1}{\sqrt{-1}\cdot \sqrt{1-t}} = \frac{1}{\sqrt{-k}} \cdot arcsin (t)$

Ten integrál byl jenom část příkladu. V zadání je, že t se rovna tomu integrálu, takže: $t = \frac{1}{\sqrt{-k}}\cdot arcsin (\frac{\sqrt{-k}\cdot x}{\sqrt{5}}$ , no a že bych to umocnil, takže $t^{2} = \frac{1}{-k}\cdot arcsin^{2} (\frac{\sqrt{-k}\cdot x}{\sqrt{5}})$ , tož potom :) : $sin^{2}(t^{2}\cdot (-k))= (\frac{\sqrt{-k}\cdot x}{\sqrt{5}})$ no a teď bych to ještě umocnil jednou, abych se zbavil $\sqrt{-k}$ a pak už jenom vyjádřit x. Šlo by to?

Edy · 21. 06. 2014 21:10

↑ Edy:
Ne, tak takhle to nepude, opět mi výjde záporný číslo pod odmocninou

jelena · 21. 06. 2014 22:21

↑ Edy:

Zdravím,

substituci, jak jste probrali s kolegou ↑ Bati: neodstraníš 2. mocninu pod odmocninou ve zlomku, pořád je $\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{5t^2-5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{k}}...$

Což vede na tabulkový integrál (3. vzorec od konce) také viz ↑ Bati, příspěvek 13:.

Ten integrál byl jenom část příkladu. V zadání je, že t se rovna tomu integrálu, takže:

To je trochu zmatek, pokud chceš diskutovat i část příkladu, stejně je dobré psát celé zadání, jelikož teď se plete označení substituce (co si můžeš volit libovolné písmeno) a konkrétní $t$ , které bylo v zadání. Věřím, že ani kolega Bati se nebude zlobit, když doporučím založení nového kompletního tématu :-) s využitím dosavadních poskytnutých doporučení. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2014 15:17

substituce integrálu s arcsin

#2 21. 06. 2014 15:31

Re: substituce integrálu s arcsin

#3 21. 06. 2014 15:43

Re: substituce integrálu s arcsin

#4 21. 06. 2014 16:50

Re: substituce integrálu s arcsin

#5 21. 06. 2014 17:03

Re: substituce integrálu s arcsin

#6 21. 06. 2014 18:07

Re: substituce integrálu s arcsin

#7 21. 06. 2014 18:13 — Editoval Bati (21. 06. 2014 18:15)

Re: substituce integrálu s arcsin

#8 21. 06. 2014 18:20 — Editoval Edy (21. 06. 2014 18:20)

Re: substituce integrálu s arcsin

#9 21. 06. 2014 18:24

Re: substituce integrálu s arcsin

#10 21. 06. 2014 18:30

Re: substituce integrálu s arcsin

#11 21. 06. 2014 18:42 — Editoval Bati (21. 06. 2014 18:43)

Re: substituce integrálu s arcsin

#12 21. 06. 2014 18:58

Re: substituce integrálu s arcsin

#13 21. 06. 2014 19:04 — Editoval Bati (21. 06. 2014 19:05)

Re: substituce integrálu s arcsin

#14 21. 06. 2014 19:26

Re: substituce integrálu s arcsin

#15 21. 06. 2014 20:31

Re: substituce integrálu s arcsin

#16 21. 06. 2014 21:02 — Editoval Edy (21. 06. 2014 21:06)

Re: substituce integrálu s arcsin

#17 21. 06. 2014 21:10

Re: substituce integrálu s arcsin

#18 21. 06. 2014 22:21

Re: substituce integrálu s arcsin

Zápatí