Matematické Fórum

Jozef3 · 22. 06. 2014 07:40

Dobrý den.
Mám vypočítat hustotu náhodného vektoru (X,Y), kde X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0,1) a pro náhodnou veličinu Y platí $Y=X+2$ .
Vím, jaká je definice sdružené distribuční funkce i to, jakou marginální hustotu mají veličiny X a Y. Problém mi však dělá určit sdružené rozdělení, neboť náhodné veličiny nejsou nezávislé, takže sdružené rozdělení není součinem marginálních. A jelikož jsou obě veličiny dokonce funkcionálně závislé, zdá se mi, že sdružená hustota by mohla být funkcí pouze jedné proměnné.
Jak ji ale určit? A jaký je nosič sdružené hustoty?
Děkuji.

jarrro · 22. 06. 2014 11:02

Ahoj
najprv sa pozri na distribučnú funkciu
$F_{XY}{$x,y$}=P{$X<x,X+2<y$}=P{$X<\min{\(x,y-2$}\)}=F_X{$\min{\(x,y-2$}\)}$
z toho ak sa nemýlim sa hustota dostane ako zmiešaná derivácia(týmto si nie som istý treba overiť)

Jozef3 · 22. 06. 2014 12:00

↑ jarrro:
Děkuji za ochotu.
Je tedy ta sdružená distribuční funkce dána předpisem $F_{X}(min(x,y-2))=x\cdot (y-2)$ na množině $(0,1) \times (2,3)$ ?
Pak by sdružená hustota byla dána předpisem $f(x,y)=1$ na $(0,1) \times (2,3)$ .

Ptal jsem se proto, že mě zajímalo, zda sdružená hustota náhodného vektoru může být singulární součinu marginálních hustot jeho složek. Vizte můj předchozí dotaz Odkaz. V tomto případě je ale dokonce nosič sdružené hustoty totožný s nosičem součinu marginálních hustot, takže to můj původní problém neřeší (myslel jsem si, že řešením toho problému může být případ, kdy jsou složky náhodného vektoru funkcionálně závislé náhodné veličiny).
Neuměl by tedy někdo vyřešit můj předchozí dotaz?

jarrro · 22. 06. 2014 12:34 — Editoval jarrro (22. 06. 2014 12:39)

je to funkcia dvoch premenných
$F_{XY}{$x,y$}=F_{X}{$\min{\(x,y-2$}\)}=\begin{cases}0\text{ ak }\min{$x,y-2$}<0\\\min{$x, y-2$}\text{ ak }0\leq\min{$x,y-2$}\leq 1\\ 1\text{ inak}\end{cases}$
teda nosič hustoty je množina
$\{\[x,y\],0<\min{$x, y-2$}<1\}$

Jozef3 · 22. 06. 2014 12:45

↑ jarrro:
Aha, tak to zřejmě mění situaci.
Ale jak tu funkci $F(x,y)=min(x,y-2)$ pro $min(x,y-2) \in [0,1]$ parciálně zderivuji, abych určil sdruženou hustotu? A jaký pak bude nosič té sdružené hustoty? To bude prostě množina daná předpisem $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}: min(x,y-2) \in [0,1] \}$ ?

Matematické Fórum

#1 22. 06. 2014 07:40

Sdružené rozdělení

#2 22. 06. 2014 11:02

Re: Sdružené rozdělení

#3 22. 06. 2014 12:00

Re: Sdružené rozdělení

#4 22. 06. 2014 12:34 — Editoval jarrro (22. 06. 2014 12:39)

Re: Sdružené rozdělení

#5 22. 06. 2014 12:45

Re: Sdružené rozdělení

Zápatí