Matematické Fórum

MarekW · 20. 06. 2014 09:59

Ahoj všichni, potřebuji pomoci s jedním příkladem. Byl bych rád, kdyby mi to někdo vypočítal i s postupem, jelikož já vůbec nevím jak na to :( Jedná se o tento příklad: délka rovinné křivky $y = \ln (\sin x)$ v intervalu $<\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}>$

jelena · 20. 06. 2014 10:20

Zdravím,

u vás je to hodně podrobně v materiálech, dokonce i video na typově stejné zadání, zkoušel jsi projít? Děkuji.

Rumburak · 20. 06. 2014 10:27

↑ MarekW:

Ahoj. Na výpočet délky oblouku křivky existují integrální vzorce. Například vzorcem

$l(f, a, b) = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \d x$

se počítá délka oblouku grafu funkce f nad intervalem [a, b] (vhodné předpoklady na funkci f si lze snadno domyslet).

MarekW · 20. 06. 2014 10:44

↑ jelena:

Díky za připomenutí :) Na tyhle materiály jsem úplně zapomněl.

MarekW · 22. 06. 2014 19:01

Tak jsem to právě spočítal a vyšlo mi následující.
$l=\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{2\pi }{3}}\sqrt{1+\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x}}dx = \frac{ln(3)}{2}-(-\frac{ln(3)}{2})=ln(3)$

Je to tak správně, délka l=ln(3)?

Jj · 22. 06. 2014 19:30

↑ MarekW:

Dobrý den. Vypadá to v pořádku.

MarekW · 22. 06. 2014 20:01

↑ Jj:
Díky za kontrolu :)

jelena · 24. 06. 2014 12:49

Zdravím v tématu (ještě jmenovitě kolegovi Rumburakovi opětuji pozdrav v jiném tématu :-)

MarekW napsal(a):
Díky za připomenutí :) Na tyhle materiály jsem úplně zapomněl.

Ještě připomenu, že v úvodním tématu sekce je MAW, ve kterém lze toho hodně překontrolovat. Děkuji autorovi.

Freedy · 24. 06. 2014 12:59 — Editoval Freedy (24. 06. 2014 13:01)

$l=\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{2\pi }{3}}\sqrt{1+\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x}}dx = \frac{ln(3)}{2}-(-\frac{ln(3)}{2})=ln(3)$
můžu se jen zeptat odkud se tam vynořilo to ln? Podle mě je teda:
$\sqrt{1+\text{cotg}^2x}=|\text{csc}(x)|$

Jj · 24. 06. 2014 19:46

↑ Freedy:

V řešeném intervalu je sin(x) > 0, takže není nutná absolutní hodnota, a

$\int \sqrt{1+\text{cotg}^2x}\,\d x=\int \frac{\d x}{\sin x}$ , po substituci x = cos(t) se ve výpočtu
objeví logaritmus:

$=\int \frac{\d t}{t^2-1}= \ln \sqrt{\frac{t-1}{t+1}}=\cdots$

Freedy · 29. 06. 2014 00:26

↑ Jj: omlouvám se, já zapomněl že se ještě neintegrovalo :D Díky.

Matematické Fórum

#1 20. 06. 2014 09:59

Délka rovinné křivky

#2 20. 06. 2014 10:20

Re: Délka rovinné křivky

#3 20. 06. 2014 10:27

Re: Délka rovinné křivky

#4 20. 06. 2014 10:44

Re: Délka rovinné křivky

#5 22. 06. 2014 19:01

Re: Délka rovinné křivky

#6 22. 06. 2014 19:30

Re: Délka rovinné křivky

#7 22. 06. 2014 20:01

Re: Délka rovinné křivky

#8 24. 06. 2014 12:49

Re: Délka rovinné křivky

MarekW napsal(a):

#9 24. 06. 2014 12:59 — Editoval Freedy (24. 06. 2014 13:01)

Re: Délka rovinné křivky

#10 24. 06. 2014 19:46

Re: Délka rovinné křivky

#11 29. 06. 2014 00:26

Re: Délka rovinné křivky

Zápatí