Matematické Fórum

MarekW · 23. 06. 2014 20:53

Ahoj, narazil jsem na problém, když jsem chtěl začít řešit tuto diferenciální rovnici $xy'=y+\sqrt{y^{2}-x^{2}}$
Vůbec totiž netuším jak postupovat.

Bati · 23. 06. 2014 21:01

Ahoj,
vyděl to x a substituuj $z=\frac{y}{x}$ . Dostaneš dif. rovnici se separovanými proměnnými. Pozor ale na to, že touto úpravou se množina všech řešení může trochu změnit (zmenšit).

MarekW · 23. 06. 2014 21:20

↑ Bati:

Díky za radu. Pokusím se to tak vypočítat a případně sem ještě napíšu :)

MarekW · 24. 06. 2014 12:01

↑ Bati:

Je takto ta substituce správně? Nějak se mi to nezdá. $y'=z+\frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{x}$

Bati · 24. 06. 2014 12:43

↑ MarekW:
To ještě není ono, je třeba nahradit všechny výskyty funkce $y$ funkcí $z$ .
1) $z=\frac{y}{x}$ , takže $y=xz$ , a tedy $y'=z+xz'$ .
2) Platí $x=\text{sgn}\,{x}\;|x|=\text{sgn}\,{x}\;\sqrt{x^2}$ , takže $\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{x}=\text{sgn}\,x\;\sqrt{\frac{y^2-x^2}{x^2}}=\text{sgn}\,x\;\sqrt{z^2-1}$ .
Použitím 1) a 2) dostávám pro $x\neq0$ rovnici $xz'=\text{sgn}\,x\;\sqrt{z^2-1}$ , tj. $\frac{z'}{\sqrt{z^2-1}}=\frac1{|x|}$ , pokud $z\neq\pm1$ .

MarekW · 24. 06. 2014 12:56

↑ Bati:

Aha, děkuju.

MarekW · 24. 06. 2014 13:14

↑ Bati:

Je toto správný postup?
$\frac{\frac{dz}{dx}}{\sqrt{z^{2}-1}}=\frac{1}{x}$
$\int_{}^{}\frac{\frac{dz}{dx}}{\sqrt{z^{2}-1}}dx=\int_{}^{}\frac{1}{x}dx$
$\frac{z}{\sqrt{z^{2}-1}}=ln(x)+c_{1}$

Bati · 24. 06. 2014 14:16

↑ MarekW:
To není. Chybí tam ta absolutní hodnota. Řešení dif. rce metodou separace proměnných se provádí takto:
$\frac{\frac{dz}{dx}}{\sqrt{z^{2}-1}}=\frac{1}{|x|}$
$\int\frac{dz}{\sqrt{z^{2}-1}}=\int\frac{dx}{|x|}+C$

MarekW · 24. 06. 2014 14:52

↑ Bati:

Jak mám tedy pokračovat dále? Nějak se v tom topím.

Bati · 24. 06. 2014 19:00

↑ MarekW:
Nejdříve je potřeba spočítat ty primitivní funkce, viz ↑ Bati:.

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2014 20:53

Diferenciální rovnice

#2 23. 06. 2014 21:01

Re: Diferenciální rovnice

#3 23. 06. 2014 21:20

Re: Diferenciální rovnice

#4 24. 06. 2014 11:37 Příspěvek uživatele MarekW byl skryt uživatelem MarekW.

#5 24. 06. 2014 12:01

Re: Diferenciální rovnice

#6 24. 06. 2014 12:43

Re: Diferenciální rovnice

#7 24. 06. 2014 12:56

Re: Diferenciální rovnice

#8 24. 06. 2014 13:14

Re: Diferenciální rovnice

#9 24. 06. 2014 14:16

Re: Diferenciální rovnice

#10 24. 06. 2014 14:52

Re: Diferenciální rovnice

#11 24. 06. 2014 19:00

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí