Matematické Fórum

Katka1994

Dobrý den, prosím, pomohli byste mi s goniometrickou rovnicí? Nějak to neumím dpočítat .. jsem špatná matematička :(

$\sin ^{6}x+\cos ^{6}x=\frac{1}{4}\sin ^{2}2x$
$(\sin ^{2}x)^{3}+(\cos ^{2}x)^{3}=\frac{1}{4}\sin ^{2}2x$
$(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)(\sin ^{4}x-\sin ^{2}x\cos ^{2}x+\cos ^{4}x)=\frac{1}{4}\sin ^{2}2x$
$(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)^{2}-4\sin ^{2}x\cos ^{2}x=\frac{1}{4}\sin ^{2}2x$
$1-2\sin ^{2}2x=\frac{1}{4}\sin ^{2}2x$
$1-\frac{9}{4}\sin ^{2}2x=0$

V učebnici ale mají $1-\frac{3}{4}\sin ^{2}2x$ a celkový výsledek je $\bigcup_{k\in Z}^{}\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\}$

vanok · 25. 06. 2014 17:09 — Editoval vanok (25. 06. 2014 17:12)

Ahoj
Toto $(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)^{2}-4\sin ^{2}x\cos ^{2}x=\frac{1}{4}\sin ^{2}2x$
ma byt
$(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)^{2}-3\sin ^{2}x\cos ^{2}x=\frac{1}{4}\sin ^{2}2x$

byk7 · 25. 06. 2014 17:10

$$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)$$\sin ^{4}(x)-\sin ^{2}(x)\cos ^{2}(x)+\cos ^{4}(x)$&=\frac{1}{4}\sin ^{2}(2x) \\ \sin ^{4}(x)-\sin ^{2}(x)\cos ^{2}(x)+\cos ^{4}(x)&=\frac{1}{4}\sin ^{2}(2x) \\ $\sin^2(x)+\cos^2(x)$^2-3\sin^2(x)\cos^2(x)&=\frac14\sin^2(2x) \\ 1-\frac{3}{4}\sin^2(2x)&=\frac14\sin^2(2x)$

a dál je to (snad) jasné

zdenek1 · 25. 06. 2014 17:13

↑ Katka1994:
chybu máš při přechodu z 3. na 4. řádek. Ono totiž $-1-2\ne-4$

gadgetka · 25. 06. 2014 20:54

Nebo pravou stranu můžeš upravit na:
$\frac{1}{4}\sin ^{2}2x=\frac 14\cdot 4\sin^2x\cos^2x=\sin^2x\cos^2x$

Pak dostaneš:
$\sin ^{4}x-\sin ^{2}x\cos ^{2}x+\cos ^{4}x=\sin^2x\cos^2x$
$\sin ^{4}x-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x+\cos ^{4}x=0$
$(\sin^2x-\cos^2x)^2=0$

Odtud:
$\sin^2x=1-\sin^2x$
$\sin x=\pm \frac{\sqrt 2}{2}$

ChMcL · 25. 06. 2014 21:33

↑ vanok:, ↑ byk7:, ↑ zdenek1: a ↑ gadgetka:

Omlouvám se za vstup do tématu. Mohl bych se zeptat, jak se z $1-3\sin ^{2}(x)\cos ^{2}(x)=$ dostalo $1-\frac{3}{4}\sin ^{2}(2x)$ ?

gadgetka

Např.:

$\sin(2x)=2\sin x\cos x\Rightarrow 4\sin^2x\cos^2x=\sin^2(2x)\Rightarrow 3\sin^2x\cos^2x=\frac 34 \sin^2(2x)$

neboli:
$\frac 34\sin^2(2x)=\frac 34\cdot 4\sin^2x\cos^2x=3\sin^2x\cos^2x$

Katka1994

↑ vanok: + ↑ byk7: + ↑ zdenek1:

Děkuji vám moc za kontrolu, jak říkám, jsem tupá, v tom počítání nasekám tolik chyb, za kterých se stydím, že sem vůbec dotaz dávám .. :)

↑ gadgetka: + ↑ gadgetka:

Děkuji moc gadgetko za jiný a elegantnější pohled na příklad, jsi skvělá! Přijedu k tobě a vezmu si kousek tvé matematické inteligence! Kdybych jen nebyla tak blbá a tupá :))

Matematické Fórum

#1 25. 06. 2014 16:48 — Editoval Katka1994 (25. 06. 2014 17:03)

Goniometrická rovnice A

#2 25. 06. 2014 17:09 — Editoval vanok (25. 06. 2014 17:12)

Re: Goniometrická rovnice A

#3 25. 06. 2014 17:10

Re: Goniometrická rovnice A

#4 25. 06. 2014 17:13

Re: Goniometrická rovnice A

#5 25. 06. 2014 20:54

Re: Goniometrická rovnice A

#6 25. 06. 2014 21:33

Re: Goniometrická rovnice A

#7 25. 06. 2014 21:45 — Editoval gadgetka (25. 06. 2014 21:50)

Re: Goniometrická rovnice A

#8 26. 06. 2014 00:56 — Editoval Katka1994 (26. 06. 2014 00:58)

Re: Goniometrická rovnice A

Zápatí