Matematické Fórum

Dopikasan · 25. 06. 2014 14:54

Zdravím,
mám příklad : Uvažujte náhodnou veličinu X s hustotou $f(x)=\{|\frac{3x}{2}-2|+\frac{7}{12}\} x\in \langle1,2\rangle$
další řádek je 0; jinde

a) nakreslete graf hustoty(graf řádně popište)
b) spočtěte $E(X)$
c) spočtěte pravděpodobnost, že veličina X nebude menší než E(X)

ad a) nevím, kdyby jste měli nějaký link, kde si to nastudovat

ad b) fx jsem zderivoval takže $\frac{3}{2}$ a vynásobil x a zintegroval podle vzorce

$\int_{1}^{2}f(x)*x$ a vyšlo mi $\frac{9}{4}$ nevím jestli to je správný postup.

ad c) by se počítalo takhle? $P(X>E(X)=1-P(X<E(X)$
$P(X>\frac{9}{4}=1-P(X<\frac{9}{4})$

Děkuju

jelena · 25. 06. 2014 16:18

Zdravím,

v zadání máš funkci $f(x)$ , která má v předpisu absolutní hodnotu (na intervalu od 1 do 2), mimo tento interval je hodnota funkce 0. Pro krok a) ještě není nutné nic z pravděpodobnosti, pouze si vybav zakreslení grafu funkcí (lineární funkce s absolutní hodnotou a konstantní funkce).

pro b) vzorec pro E(x) jsme diskutovali spolu v některém z témat (a máš ho i tady), jelikož je zadána hustota f(x), ne distribuční funkce F(x), není důvod derivovat. Ovšem je důvod se pořádně podívat na bod a) jelikož předpis f(x) se ještě "rozpadne" podle znaménka uvnitř absolutní hodnoty (na zadaném intervalu), až po odstranění abs. hodnoty můžeš pokračovat k výpočtu E(X).

Opět můžeš používat "košický materiál", v zadání je podstatné více pracovat s předpisem funkce f(x). Podívej se na to ještě, prosím.

Dopikasan · 26. 06. 2014 09:57

↑ jelena:
aha.. takže

a) bude http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab … 9%2B7%2F12

b) pokud odstraním absolutní hodnotu tak výraz muže být $\frac{3x}{2}-2$ a nebo $\frac{-3x}{2}+2$ ?

potom tedy když to nějak rozdělím tak $E(X)\int_{1}^{2}x*f(x)$ kde f(x) je ta ze zadání bez absolutní hodnoty že?

c) $P(X>E(X))$ platí toto?

OndrasV

↑ Dopikasan: b) použiješ znalosti z SŠ matematiky, hustota bude v int. [1,3/2) $\frac{-3x}{2}+2+\frac{7}{12}$ a v int. [3/2,2] $\frac{3x}{2}-2+\frac{7}{12}$ a jinde nulu. Takže střední hodnotu si spočteš jako součet dvou integrálů.
c) Ano, ale máš tam mít ostrou nerovnost, tj. $P(X \ge E(X)=1-P(X<E(X)$ .

Dopikasan

↑ OndrasV:

int první mi vyšel $\frac{17}{48}$ druhý $\frac{29}{48}$ (kontrolováno wolframem takže střední hodnota je $\frac{46}{48}$ ?

Moc mi ale není jasné proč ty meze jsou do bodu $\frac{3}{2}$ , se to určuje jen podle prvního členu (kde je Xsový člen?)

$P(X \ge \frac{46}{48})=1-P(X<\frac{46}{48})$

Ted si nejsem jistej, jestli stačí podle tabulek najít distribuční funkci $\frac{46}{48}\Rightarrow 0,83147$ která je 0,83147 a tedy dosadím a vyjde $0,16853$ ?

Díky

jelena · 26. 06. 2014 14:26

kolega Dopikasan napsal(a):
Moc mi ale není jasné proč ty meze jsou do bodu $\frac{3}{2}$ , se to určuje jen podle prvního členu (kde je Xsový člen?)

vzpomeň si, prosím, na určení nulového bodu pro odstranění absolutní hodnoty (pro různé použití) viz také kolega ↑ OndrasV:. Přesunu na chvilku do SŠ, až si vzpomeneš, tak přesunu zpět (pokud nezapomenu).

Zdravím v tématu.

Dopikasan · 26. 06. 2014 21:04

↑ jelena:
3/2 mi teda nevyšli... vyšlo mi 4/3

udělal jsem to pro kladnou absolutní závorku potom pro zápornou a vyšlo mi že se to láme na $\frac{4}{3}$ což by i podle wolframu odpovídalo http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab … 7%2F12%3D0
tady to jde možná lépe vidět http://um.mendelu.cz/maw-html/index.php … ;form=graf

takže integrovat budu od 1 do 4/3 a od 4/3 do 2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … B7%2F12%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … B7%2F12%29

integrály po součtu vyšlo $1$

a ted tedy dosadím abych zjistil jaká je pravděpodobnost že bude menší X než E(X)
$P(X \ge 1=1-P(X<1)$ a to ted nevím jak.

Můj tip je přes distribuční funkci náhodného rozdělení kde si najdu $F(1)=0,84$

takže $P(X\ge 1)=1-0,84=0,16$

díky

jelena · 26. 06. 2014 21:55

3/2 mi teda nevyšli... vyšlo mi 4/3

nevyšlYnebo nevyšlI (tři poloviny)? Což je dobře, jelikož nulový bod pro absolutní hodnotu počítáme z $\frac{3x}{2}-2=0$ a skutečně vyjde $x=\frac{4}{3}$ , kde se zlomí graf funkce s absolutní hodnotou. A také tak se rozdělí předpis pro hustotu pravděpodobnosti a intervaly, to máš v pořádku.

Ovšem není v pořádku vzorec pro E(X), který jsi zadal do WA, chybí tomu *x - porovnej, prosím $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)\d x=0+\int_{1}^{2}x\cdot f(x)\d x$ a ještě oprav.

Potom k $P(X \ge E(X))=1-P(X<E(X))$ bude jiná hodnota E(X), ale

Dopikasan napsal(a):
Můj tip je přes distribuční funkci náhodného rozdělení kde si najdu $F(1)=0,84$

to je pravděpodobně hodnota z tabulek pro normální rozdělení - tak? My ale nemáme normální, ale takové, jak nám zadali, tedy, budeme počítat pro zadanou f(x) - viz věta 8.2 v košickém materiálu a úloha (např. 8.6), ale na výpočet P(X) je úloh více v odkazu.

Můžeme zpět do VŠ :-)

Dopikasan

↑ jelena:
jsem rád že jsem ve vš zase :D a nevyšly! :D

určitě to je teda s tím x* ? http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … 7x%2F12%29 kde vyšlo $E(X)=7,35$ což mi přijde mimo def obor uplně ?

(z mawu se sem zkopírovala nějaká jiná funkce :o)

a ted tedy k té P(X) ... jak poznám jakou mám integrovat funkci? jestli $\frac{3x}{2}-2+\frac{7}{12}$ nebo $\frac{-3x}{2}+2+\frac{7}{12}$ ?

jelena · 26. 06. 2014 22:15

↑ Dopikasan:

naše aerolinky zabezpečuji nejlepší léty :-)

k novému výpočtu E(X) - no ale nemáš interval rozdělený, to zůstává, jak jsi měl na 2 díly (od 1 do 4/3 jeden tvar funkce f(x), od 4/3 do 2 druhý tvar f(x)), jen všude ještě *x (viz vzorec pro E(X)). Na zbytek se podívám později.

Dopikasan · 26. 06. 2014 22:22

↑ jelena:
jo já jsem si říkal :D omlouvám se, jsem uplně vygumovanej už...

takže http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … 7%2F12%29x výjde 0,3194

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … 7%2F12%29x
vyjde 1,2407

součet je $E(X)=1,559$ je to jen součet , nemusí se to dělit dvěmi že?

a tedka k té P(X) bude to integrál s mezemi $\int_{1}^{E(X)}f(x)$ ?

jelena · 27. 06. 2014 00:20 — Editoval jelena (27. 06. 2014 00:35)

↑ Dopikasan:

no jo, začátek prázdnin :-)

K výpočtu E(X) - do WA zapsáno už snad dobře, bude věřit výpočtu, jen bych nechala hodnotu ve tvaru zlomku (.../...), ne zaokrouhleno. Potom $P(X<E(X))=\int_{-\infty}^{E(X)}f(x)\d x$ (samotný výpočet je od 1, jak máš $\int_{1}^{E(X)}f(x)\d x$ (ovšem opět pozor na 4/3 - pokud je na intervalu do E(X), tak opět 2 přepisy f(x)), potom dokončit.

Dopikasan · 28. 06. 2014 15:02

↑ jelena:
dobře, příště to nechám ve zlomku, tedka už to dopočítám takto.. takže jsem zintegroval
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … B7%2F12%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … B7%2F12%29

první integrál vyšel $0,2777$ druhý vyšel $0,169833$ a jejich součet je $0,447533$ takže

pravděpodobnost že X bude větší jak E(X) je 44.75% ?

Děkuju

jelena · 28. 06. 2014 17:44 — Editoval jelena (28. 06. 2014 17:46)

↑ Dopikasan:

také děkuji, do WA vloženo dobře, budu věřit výsledku.

pravděpodobnost že X bude větší jak E(X) je 44.75% ?

toto zatím byl pomocný výpočet $P(X<E(X))=\int_{-\infty}^{E(X)}f(x)\d x$ "pravděpodobnost, že hodnoty jsou menší, než E(X)". Ještě dokončit, že nebudou menší $P(X \ge E(X)=1-P(X<E(X)$ V pořádku? Děkuji.

Dopikasan · 28. 06. 2014 17:47

↑ jelena:
ajo

takže $1-0,4475=0,5525$

takže pravděpodobnost je 55.25% děkuju, označím jako vyřešené :)

jelena · 28. 06. 2014 21:28

↑ Dopikasan:

není za co, také děkuji. Pokud není nějaký překlep v dosazováních, tak by to mělo být v pořádku (a snad i jasný princip). Odkazovaný košický materiál není jen přehledný co do číslování, ale také není příliš "přeteoretizovaný" a zároveň obsahuje dost typových úloh s podrobným komentářem.

Matematické Fórum

#1 25. 06. 2014 14:54

hustota funkce - pravděpodobnost

#2 25. 06. 2014 16:18

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#3 26. 06. 2014 09:57

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#4 26. 06. 2014 11:19 — Editoval OndrasV (26. 06. 2014 11:21)

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#5 26. 06. 2014 12:10 — Editoval Dopikasan (26. 06. 2014 13:35)

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#6 26. 06. 2014 14:26

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

kolega Dopikasan napsal(a):

#7 26. 06. 2014 21:04

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#8 26. 06. 2014 21:55

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

Dopikasan napsal(a):

#9 26. 06. 2014 22:04 — Editoval Dopikasan (26. 06. 2014 22:09)

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#10 26. 06. 2014 22:15

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#11 26. 06. 2014 22:22

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#12 27. 06. 2014 00:20 — Editoval jelena (27. 06. 2014 00:35)

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#13 28. 06. 2014 15:02

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#14 28. 06. 2014 17:44 — Editoval jelena (28. 06. 2014 17:46)

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#15 28. 06. 2014 17:47

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

#16 28. 06. 2014 21:28

Re: hustota funkce - pravděpodobnost

Zápatí