Matematické Fórum

lucia1234 · 30. 06. 2014 13:15

Zdravím Vás, potrebovala by som poradiť s integrálom

$\int_{1}^{\infty } \frac{\sqrt{lnx}}{x^{3}}$

neviem ako začať, akú vhodnú substitúciu zvoliť??

Vďaka

Bati · 30. 06. 2014 13:55 — Editoval Bati (30. 06. 2014 13:57)

Ahoj,
nejprve se zbav logaritmu substitucí $x=e^t$ . Po upravení uvidíš, že je vhodné ještě substituovat $u=2t$ , čímž se to převede na známou hodnotu gamma funkce $\Gamma(\tfrac32)$ .

PS. Je dobré si hned na začátku uvědomit, proč ten integrál není $\infty$ , protože pak není třeba nic počítat.

Freedy · 30. 06. 2014 17:05

↑ Bati:
můžu poprosit o konkrétní postup? Děkuji

Bati · 30. 06. 2014 17:30

↑ Freedy:
Integrál konverguje podle srovnávacího kritéria.
$\int_1^{\infty}\frac{\sqrt{\ln{x}}}{x^3}\,\text{d}x =\int_0^{\infty}\frac{\sqrt{t}}{e^{3t}}\,e^t\,\text{d}t =\int_0^{\infty}t^{\frac12}e^{-2t}\,\text{d}t\nl =\frac1{2\sqrt2}\int_0^{\infty}u^{\frac32-1}e^{-u}\,\text{d}u =\frac1{2\sqrt2}\Gamma(\tfrac32)=\frac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{2}}$ .
Jde ti o tohle, nebo o $\Gamma(\tfrac32)=\tfrac{\sqrt{\pi}}2$ ?

Freedy · 30. 06. 2014 17:56

nechápu ten skok na gama funkci. Ale to nejspíš nejde chápat

Hanis · 30. 06. 2014 18:34

↑ Freedy:

Koukni na definici, a je to tam hned :-)

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2014 13:15

určitý integrál

#2 30. 06. 2014 13:55 — Editoval Bati (30. 06. 2014 13:57)

Re: určitý integrál

#3 30. 06. 2014 17:05

Re: určitý integrál

#4 30. 06. 2014 17:30

Re: určitý integrál

#5 30. 06. 2014 17:56

Re: určitý integrál

#6 30. 06. 2014 18:34

Re: určitý integrál

Zápatí