Matematické Fórum

Coko · 30. 06. 2014 16:01

Dobrý den,

řeším nevlastní integrál $\int_{-1}^{2} \frac{x^{2}+1}{\sqrt[3]{x}} dx$ . Rozdělím to jako $\lim_{\varepsilon \to0+}\int_{-1}^{0-\varepsilon }\frac{x^{2}+1}{\sqrt[3]{x}}dx+\lim_{\varepsilon \to0+}\int_{0+\varepsilon }^{2}\frac{x^{2}+1}{\sqrt[3]{x}}dx$ ?? Pokud je to dobře, tak pak nevím jak s integrací. Vidím, že bych to mohla rozdělit jako $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ , ale to nevím, jak se v rámci integrace nevlastního integrálu může. Můžete mi pomoci?

Bati · 30. 06. 2014 17:15 — Editoval Bati (30. 06. 2014 17:16)

Ahoj.
To rozdělení s limitami není vůbec potřeba, protože můžeme snadno nahlédnout, že daný integrál konverguje (a můžeme ho vypočítat pomocí primitivní funkce na příslušných intervalech).

Uvedený způsob výpočtu pomocí limit se někdy nazývá hlavní hodnota integrálu vzhledem k nule. To se používá v případech, kde rozdělení na dva integrály podle kritického bodu vede na výraz typu $\infty-\infty$ (což v daném příkladě nenastává). Typický příklad toho je $\int_{-1}^{1}\frac1x\,\mathrm{d}x$ . V tomto případě zobecněná definice Riemannova integrálu selhává, protože nám neurčuje, jakým způsobem počítat příslušné limity:
$\int_{-1}^{1}\frac1x\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to0-}[\log{|x|}]_{-1}^{\varepsilon}+\lim_{\delta\to0+}[\log{|x|}]_{\delta}^1=\lim_{\varepsilon\to0+}\log{\varepsilon}-\lim_{\delta\to0+}\log{\delta}=\text{cokoliv}$
Hlavní hodnota integrálu vzhledem k nule nám předepisuje uvažovat místo toho limitu $\lim_{\varepsilon\to0+}\left([\log{|x|}]_{-1}^{0-\varepsilon}+[\log{|x|}]_{0+\varepsilon}^1\right)=\lim_{\varepsilon\to0+}\left(\log{\varepsilon}-\log{\varepsilon}\right)=0$ , ale to je samozřejmě jen jedna z možností, jak to zvolit, např.
$\lim_{\varepsilon\to0+}\left([\log{|x|}]_{-1}^{0-5\varepsilon}+[\log{|x|}]_{0+\varepsilon}^1\right)=\lim_{\varepsilon\to0+}\left(\log{5\varepsilon}-\log{\varepsilon}\right)=\log{5}$ by byla jiná fungující definice.

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2014 16:01

Nevlastní integrál

#2 30. 06. 2014 17:15 — Editoval Bati (30. 06. 2014 17:16)

Re: Nevlastní integrál

Zápatí