Matematické Fórum

jendula11 · 18. 02. 2009 14:31

mooc prosím o radu jak na takovéto typy příkladů
dokažte matematickou indukcí:
$1^3+2^3+3^3+....+n^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$

$1*1!+2*2!+.....+n*n!=(n+1)!-1$

$\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+.....+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

u všeho platí: $n\in N$

musixx · 18. 02. 2009 14:37

↑ jendula11: Napisu vzdycky jenom to podstatne pro indukcni krok, indukcni predpoklad je v ramecku:

$\boxed{\frac14(n-1)^2n^2}+n^3=\frac14n^2(n+1)^2$

$\boxed{n!-1}+n\cdot n!=(n+1)!-1$

$\boxed{\frac{n-1}n}+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$

Staci takova napoveda?

jendula11 · 18. 02. 2009 14:47

↑ musixx:
abych se přiznal jsem na tohle to trošku levej, mohl by jsi mi prosím aspon jeden příklad trošku rozebrat ty další už snad zvládnu sám

musixx · 18. 02. 2009 15:04 — Editoval musixx (18. 02. 2009 15:13)

↑ jendula11: Tak treba hned ten prvni: Zakladni nejjednodussi forma matematicke indukce se deli na dva kroky. Nejprve se ukaze pravdivost pro nejmensi prvek. Tady je to pro n=1 a rovnost $1^3=\frac141^22^2$ zrejme plati.

Nyni muzeme predpokladat, ze jsme rovnost dokazali pro n-1 clenu, tedy ze vime, ze $1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3=\frac14(n-1)^2(n-1+1)^2$ . Nekdy se pro n-1 zavadi nove pismenko, treba $k$ , ale to je samozrejme jen drobnost. No a jak tento indukcni predpoklad vyuzit? No, musime totiz rovnost dokazat pro n, nestaci pro n-1. Tedy chceme dokazat, ze $1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3+n^3=\frac14n^2(n+1)^2$ , na prvni cast leve strany pouziju indukcni predpoklad, tedy mam dokazat, ze $\frac14(n-1)^2n^2+n^3=\frac14n^2(n+1)^2$ , coz je ovsem trivialni (vydelit n^2, pripade vynasobit 4 a roznasobit).

Jak jsme timto procesem vsechno dokazali pro vsechna n?

No, nejprve jsme to dokazali pro 1.
Pak jsme predpokladali, ze pro 1 uz to umime, a dokazali jsme to pro 2.
Pak jsme predpokladali, ze pro 2 uz to umime, a dokazali jsme to pro 3.
Pak jsme predpokladali, ze pro 3 uz to umime, a dokazali jsme to pro 4.
Pak jsme predpokladali, ze pro 4 uz to umime, a dokazali jsme to pro 5.
Pak jsme predpokladali, ze pro 5 uz to umime, a dokazali jsme to pro 6.
Atd.

Vidis v tom, ze je to korektni, ze?

Jen bych chtel pripomenout, ze zakladni krok indukce je zasadni. Casto je trivialni, ale nesmi se vynechat. Jinak totiz vyse popsana posloupnost implikaci vychazi z FALSE, a jak vime, z nuly plyne cokoli, tedy dukaz je bez tohoto kroku neuplny (a pokud je vas ucitel matiky trochu schopny, ukaze vam snadno priklad, kde indukcni krok "vychazi", ale pritom dokazovana rovnost neplati).

EDIT: Ted me napadl priklad: Dokazte matematickou indukci, ze $n!=0$ pro vsechna prirozena $n$ . Indukcni predpoklad je, ze $(n-1)!=0$ , indukci krok tedy $n!=n\cdot(n-1)!=n\cdot0=0$ . Tedy indukcni krok prosel. Ano, je to hloupost, protoze jsem neudelal zakladni krok a neoveril tvrzeni pro n=1.