Matematické Fórum

pusik1989 · 18. 02. 2009 16:30

vubec nevim jak na to

musixx · 18. 02. 2009 16:58 — Editoval musixx (18. 02. 2009 17:10)

↑ pusik1989: Rikaji ti neco symetricke polynomy a Vietovy vztahy? Pro tento pripad se casto oznacuji $s_i$ , resp. $\sigma_i$ .

EDIT: Tady nam budou stacit jen ty Vietovy vztahy. Nejprve prevedme puvodni polynom do tvaru $2\left(x^2-\frac72x+2\right)$ . Oznacme jeho koreny jako $x_1$ a $x_2$ . Pak plati

$x_1+x_2=\frac72$
$x_1x_2=2$ .

Pro polynom $x^2+px+q$ , ktery ma mit koreny $\frac1{x_1}$ a $\frac1{x_2}$ z Vietovych vztahu mame

$-p=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac72}{2}=\frac74$
a
$q=\frac1{x_1}\cdot\frac1{x_2}=\frac1{x_1x_2}=\frac12$ .

Tedy hledany polynom je napriklad $x^2-\frac74x+\frac12$ . Nebo take nejaky jeho nenulovy "hezci" nasobek, treba $4x^2-7x+2$ .

Ty "druhe mocniny" necham na tobe. Analogicky se uvazi, ze $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ a $x_1^2\cdot x_2^2=(x_1x_2)^2$ .

pusik1989 · 18. 02. 2009 20:46

hmm dik moc aspon za to A

gadgetka · 18. 02. 2009 22:41

$2x^2-7x+4=0\nlx^2-\frac{7}{2}x+2=0\nlr+s=-\frac{b}{a}=-p=\frac{7}{2}\nlr*s=\frac{c}{a}=q=2$

a)
$R=\frac{1}{r}\nlS=\frac{1}{s}$

$x^2+px+q=0\nl-p=\frac{1}{r}+\frac{1}{s}\nl-p=\frac{s+r}{sr}\nl-p=\frac{\frac{7}{2}}{2}\nl-p=\frac{7}{4}\nlp=-\frac{7}{4}$

$q=\frac{1}{r}*\frac{1}{s}\nlq=\frac{1}{r*s}\nlq=\frac{1}{2}$

$x^2-\frac{7}{4}x+\frac{1}{2}=0\nlx^2-7x+2=0$

gadgetka · 18. 02. 2009 23:16

b)
$2x^2-7x+4=0\nlx^2-\frac{7}{2}x+2=0\nlp=-\frac{7}{2}\nlq=2$

$x^2+px+q=0\nlr=x_1^2 \wedge{s}=x_2^2\nlp=-(r+s)=-(x_1^2+x_2^2)\nlq=r*s=x_1^2*x_2^2$

$-\frac{7}{2}=-(x_1+x_2)\nl2=(x_1*x_2)$

$(-\frac{7}{2})^2=[-(x_1+x_2)]^2\nl2^2=[(x_1*x_2)]^2$

$\frac{49}{4}=x_1^2+2x_1*x_2+x_2^2\nl\frac{49}{4}-2x_1*x_2=x_1^2+x_2^2\nl\frac{49}{4}-2*2=x_1^2+x_2^2\nl\frac{49-16}{4}=x_1^2+x_2^2\nl\frac{33}{4}=x_1^2+x_2^2\nlp=-(x_1^2+x_2^2)==>p=-\frac{33}{4}$

$2=x_1*x_2\nl4=x_1^2*x_2^2==>q=4$

$x^2-\frac{33}{4}x+4=0\nl4x^2-33x+16=0$