Matematické Fórum

Petra2014 · 02. 07. 2014 21:55

Ahojte, dnes som riesila ulohy z tematickeho celku funkcie a natrafila som tam na jeden taky priklad:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-07/30677_ff.png

no a zacala som skladat zlozenu funkciu od A a uz pri A som ostala :(

f(g(x)) = $2^{\log_{2}(x+10)} + 1$

f(g(x)) = ${\log_{2}(x+10)}.\log_{2}2 + 1$

f(g(x)) = ${\log_{2}(x+10)} + 1$

f(g(x)) = ${\log_{2}(x+10)} + \log_{2}2$

f(g(x)) = ${\log_{2}2(x+10)}$

no ale to uz mam niekde asi blud, kedze v rieseni je uvedena odpoved A

dakujem pekne

byk7 · 02. 07. 2014 21:58

hned tu první úpravu máš špatně

použij
$a^{\log_a(b)}=b$ ;)

misaH · 02. 07. 2014 22:03 — Editoval misaH (02. 07. 2014 22:24)

↑ Petra2014:

Súčet nemôžeš logaritmovať spôsobom, ktorý si použila.

Ahoj.

Úloha je okrem iného o vlastnostiach logaritmov.

Logaritmus pri základe 2 čísla b je také číslo a, pre ktoré platí

$2^a=b$

Teda platí (lebo číslo a je ten logaritmus )

$2^{ \log_2b}=b$

U Teba je b rovné (x+10)

Schnappi · 03. 07. 2014 00:11

moje riešenie pre možnosť A, budeme porovnávať pravú stranu s ľavou:

1) dosadíme do f(g(x)):
$2^{\log_2{(x+10)}}+1=x+11$

2) odčítame od oboch strán číslo 1
$2^{\log_2{(x+10)}}=x+10$

3) zavedieme substitúciu x+10=t
$2^{\log_2{(t)}}=t$

4) obidve strany zlogaritmujeme
$\log_2{2^{\log_2{(t)}}}=\log_2{t}$

5) využijeme jeden zo vzorcov pre počítanie s logaritmami
$\log_2{t}\cdot \log_2{2}=\log_2{t}$

6) pretože $\log_2{2}=1$ dostávame:
$\log_2{t}=\log_2{t}$

Pravá strana sa rovná ľavej

jelena · 03. 07. 2014 12:39

Zdravím,

v této úloze mi přijde pohodlnější ponechávat při sestavení předpisu složené funkce f(g(x)) zápis g(x), bez jeho nahrazení "podrobným přepisem" a vyjadřovat ze sestavené rovnice g(x), potom porovnat se zadaným předpisem g(x).

např. pro A $2^{g(x)}+1=x+11$ a vyjádřit $g(x)$ . Obdobně u dalších zápisů (pokud by A hned nevyšlo jako řešení). Jak to vidíte? Děkuji.

vanok · 03. 07. 2014 13:22 — Editoval vanok (03. 07. 2014 13:25)

Pozdravujem ↑ jelena:,
Ano taky zapis je iste najprirodzenejsi. Naviac treba vediet, ze funkcie $x \mapsto 2^x$ a $x \mapsto \log_2 (x)$ su navzajom reciprocne (inverzne).
Tiez je uzitocne vediet, na co moze sluzit proti-priklad.
Naviac, moze byt prakticke pouzit sipkove schema na kompozicie funkcie.

Klucova otazka je: moze mat nejaky osoh riesit cvicenia bez dostatocnych znalosti sa ich tykajucych. Pochopitelne otazka tykajuca sa kompletnych rieseni je este viac platna ako na inych vlaknach fora, take riesenia, ktore v takomto pripade su prakticky nevyhnutne umoznia pokroky pytatelky?

Petra2014 · 03. 07. 2014 13:59

dakujem za vsetky nazory a typy

mna zaujala tato moznost:

použij
$a^{\log_a(b)}=b$

odkial viem, ze nieco take plati? som hladala aj na nete teoriu a nic som nenasla...neviete mi poradit? lebo s tymto je to potom uz jasne...

hroch2 · 03. 07. 2014 14:41 — Editoval hroch2 (03. 07. 2014 15:21)

↑ Petra2014:

Prečítaj si pozorne príspevok od MisaH, je to tam presne vysvetlené.

Vyplýva to z definície logaritmu.

$\color{red}\log_{2}b=a$ práve vtedy, keď $2^{\color{red}a}=b$

Stačí miesto červeného a v druhom vzťahu napísať ten logaritmus, ktorému sa rovná podľa červeného definičného vzťahu.

vanok · 03. 07. 2014 15:30 — Editoval vanok (03. 07. 2014 15:34)

Ahoj
Ten zapis $a^{\log_a(b)}=b$ znamena, ze

$\log_a:b \mapsto \log_a {(b)}$ ( akcia logaritmu na cislo b)
a potom na najdenu hodnotu je aplikovana exponenialna funkcia bazy a, co da
$a^*:\log_a {(b)} \mapsto b= a^{\log_a(b)}=b$ (tu * som tam napisal aby bolo jasne ze ide o exponencialnu funkciu)

Inac povedane, postupna aplikacia funkcii logaritmus a potom exponencialnej funkcie na cislo b da identicku hodnotu ako povodna hodnota, cize b. ( da sa to vysvetlit aj v jazyku inverznych funkcii).

Poznamka: mozes si o tomto precitat nieco v materialoch co su na fore.

Petra2014 · 03. 07. 2014 17:17

dakujem pekne za vysvetlenie, ten vztah som uz pouzivala ale ma to tu nenapadlo takto prepisat a vlastne si to uvedomit

pozrela som si uz aj teoriu, tak to hned je jasnejsie

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2014 21:55

Funkcie

#2 02. 07. 2014 21:58

Re: Funkcie

#3 02. 07. 2014 22:03 — Editoval misaH (02. 07. 2014 22:24)

Re: Funkcie

#4 03. 07. 2014 00:11

Re: Funkcie

#5 03. 07. 2014 12:39

Re: Funkcie

#6 03. 07. 2014 13:22 — Editoval vanok (03. 07. 2014 13:25)

Re: Funkcie

#7 03. 07. 2014 13:59

Re: Funkcie

#8 03. 07. 2014 14:41 — Editoval hroch2 (03. 07. 2014 15:21)

Re: Funkcie

#9 03. 07. 2014 15:30 — Editoval vanok (03. 07. 2014 15:34)

Re: Funkcie

#10 03. 07. 2014 17:17

Re: Funkcie

Zápatí