Matematické Fórum

canicula · 05. 07. 2014 18:44

Dobrý den,
mám problém s vypočtením dvou rovnic v oboru komplexních čísel.
U první se hledá neznámá $z \in \mathbb{C}$ :
$|z + 2 - i| = 5(z + 3i)$ . (Petáková 139/55 )
Druhá má neznámé $x, y \in \mathbb{C}$ , které jsou zároveň komplexně sdružené:
$(1 + 2i)x - 2y = 1$ . (Petáková 139/54 )

U první rovnice jsem nejprve použila $z = a + bi$ , tedy že $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Následným umocněním rovnice jsem však obě neznámé ztratila. Poté jsem zkusila $|z| = \sqrt{z\cdot \bar{z}}$ . To jsem upravila na $z(\bar{z} - 1) = 1 + 2i$ . Jak ale dále?
výsledek
Druhou rovnici jsem v $\mathbb{R}$ vyřešila bez problému, ale nevím jak postupovat v tomto oboru. Vždy mi vypadne $i$ , a to je konec.

Děkuji předem každému, kdo se ozve.

byk7 · 05. 07. 2014 19:46

1) na levé straně je reálné číslo, takže imaginární část pravé strany musí být rovna nule

2) rozepiš si $x$ a $y$ v algebraickém tvaru, podobná úvaha jako minule, imaginární část pravé strany je nulová, proto musí mít i levá strana imaginární část rovnou nule

canicula · 06. 07. 2014 07:41

↑ byk7:
1)
$|z + 2 - i| = 5(z + 3i)$
$|z + 2 - i| = 5(z + 0i)$
Levá část je reélné číslo, protože se jedná o absolutní hodnotu? Pak mi tam ale vyjde:
$|z| + |2 - i| = z + \sqrt{2^{2} + (-1)^{2}} = z + \sqrt{5}$ a to se pak neshoduje s výsledkem (z by v tomto případě bylo $z = \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{15}{4}i$ ).
2)
$(1 + 2i)x - 2y = 1$
$(1 + 2i)(a + bi) - 2(a + bi) = 1 + 0i$
a, veškeré imaginární části jsou rovné nule: $(1 + 0i)(a + 0i) - 2(a + 0i) = 1 + 0i$ , pak a = -1, b = 2 + 2i. A následně mi výjde x = -3 + 2i a y = 1 - 2i.
b, výsledná imaginární část levé strany je rovná nule, pak mi vychází $a = \frac{1}{5}$ .

Nezkusil by jsi mi to prosím ještě více přiblížit?

Hanis · 06. 07. 2014 09:20

Ahoj,

ad a)

neplatí |a+b|=|a|+|b|

A do jedné témy patří jeden příklad, pak je to nepřehledné.

canicula · 06. 07. 2014 18:58

↑ Hanis:
Jak jinak pak mohu určit onu absolutní hodnotu?
$|z^{2} + 2^{2} + (-1)^{2}| ?$

Hanis · 06. 07. 2014 19:19

Nechť $z=a+bi$

Pak $|z+2-i|=|a+bi+2-i|=|(a+2)+(b-1)i|=\sqrt{(a+2)^2+(b-1)^2}$

canicula · 06. 07. 2014 20:40

$\sqrt{(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1)} = 5[(a + bi) + 3i]$
$\sqrt{(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1)} = 5[a + (b + 3)i]$
$\sqrt{(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1)} = 5a + 5(b + 3)i$ # umocním na druhou
$(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1) = 25a^{2} - 25(b + 3)^{2}$
$(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1) = 25a^{2} - 25(b^{2} + 6b + 9)$
$(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1) = 25a^{2} - 25b^{2} - 150b - 225$
$-24a^{2} + 4a + 5 = - 26b^{2} - 148b - 225$
$24a^{2} - 4a - 5 = 26b^{2} + 148b + 225$
Pokud každou stranu položím rovnu nule, pak mi výjdou nesmyslná čísla, avšak lze vidět, že u kořenů b je potřeba počítat s imaginárními kořeny. Jak ale dál jinak postupovat nevím..

Hanis · 06. 07. 2014 20:42

máš špatně umocněnou pravou stranu na druhou... chybí ti tam člen, který se ve vzorcích označuje jako 2AB

canicula · 06. 07. 2014 20:54

↑ Hanis:
Máš pravdu, přehlédla jsem to.
$(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1) = 25a^{2} + 10a[5(b + 3)i] - 25(b + 3)^{2}$
$26b^{2} +148b= 26a^{2} + 50abi + 150 ai - 4a - 220$
$26b^{2} +148b= 26a^{2} + (50b + 150) ai - 4a - 220$
Ale problém zůstal stejný, ne-li horší.

jelena · 06. 07. 2014 21:13

Zdravím v tématu, jen se podělím o vzpomínky :-) No uznejte.

kolega Ondra napsal(a):
1) na levé straně je reálné číslo, takže imaginární část pravé strany musí být rovna nule

canicula napsal(a):
$\sqrt{(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1)} = 5a + 5(b + 3)i$

Od tohoto kroku již máš použit doporučení kolegy Ondry, bez dalšího umocnění.

kolega Hanis napsal(a):
A do jedné témy patří jeden příklad, pak je to nepřehledné.

do jednoho tématu :-) Jinak souhlasím.

Hanis · 06. 07. 2014 21:20

pořád to je špatně upravené:

nesedí mi hned koeficient u b

jelena · 06. 07. 2014 21:39

↑ Hanis:

Zdravím a omluva za vstup,

kolegyně ale vážně nemusí umocňovat (pokud "nesedí koeficient u b" se k tomu vztahuje). Má zůstat

$\sqrt{(a^{2} + 4a + 4) + (b^{2} - 2b + 1)} = 5a + 5(b + 3)i$

a řešit jen nulovou imaginární část (napravo, z čehož najde b) - také viz historický odkaz. Nebo něco přehlížím v této úpravě? Děkuji.

Hanis · 06. 07. 2014 21:45 — Editoval Hanis (06. 07. 2014 21:48)

Ano, ale to za předpokladu, že se ji chce přemýšlet - pak se úloha značně zjednoduší :-)

Já nečetl celé téma, kouknul jsem jenom na ty úpravy a viděl tam chybu... tak jsem na ni upozornil a už jsem se vezl.

canicula · 06. 07. 2014 22:56

Velmi vám všem děkuji. Konečně jsem to pochopila :)

Matematické Fórum

#1 05. 07. 2014 18:44

Rovnice v množině komplexních čísel

#2 05. 07. 2014 19:46

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#3 05. 07. 2014 19:52 Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Zbytečné - pozdě.

#4 06. 07. 2014 07:41

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#5 06. 07. 2014 09:20

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#6 06. 07. 2014 18:58

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#7 06. 07. 2014 19:19

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#8 06. 07. 2014 20:40

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#9 06. 07. 2014 20:42

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#10 06. 07. 2014 20:54

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#11 06. 07. 2014 21:13

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

kolega Ondra napsal(a):

canicula napsal(a):

kolega Hanis napsal(a):

#12 06. 07. 2014 21:20

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#13 06. 07. 2014 21:39

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#14 06. 07. 2014 21:45 — Editoval Hanis (06. 07. 2014 21:48)

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

#15 06. 07. 2014 22:56

Re: Rovnice v množině komplexních čísel

Zápatí