Matematické Fórum

Integral123

Ahojte, studujem na strednej skole a brali sme iba derivacie a limity, tie viem ale pytal som aj ucitela a vraj integraly nebudeme brat co je mi luto, strasne moc by som chcel pochopit co to je. Ked som sa pytal oco tam ide tak mi povedal ze ide o pocitanie obsahu plochy pod nejakou useckou, ktoru reprezentuje nejaka funckia alebo tak nejako. Tak som si doma nacrtol jednoduchu funkciu $f(x)=x$ a skusal som sa nad tym zamysliet, po chvili som zistil ze plocha pod tou useckou je nekonecna ale ak pracujeme len na nejakom konkretnom intervale napr. $(0,5)$ tak plocha ma konecny obsah, konkretne som zistil ze je to $x^2/2$ pre tuto funkciu. Chcem sa opytat, dostal som sa blizko ku integralu alebo som vedla?

thriller · 27. 06. 2014 12:58

Ahoj, super. Zkus stejným myšlenkovým postupem najít integrál pro konstantní funkci. Jsi na začátku cesty k Riemanovu integrálu (klikni pro odkaz na wiki).

Jinak, v druhém kole zkus najít integrál k všelijakým funkcím co Tě napadnou, když Ti řeknu, že výsledek integrálu po derivaci Ti má dát to, co integruješ. Neboli, jestliže jsi našel k funkci $f(x)=x$ integrál $\frac{x^{2}}{2}$ , tak ten po zderivování dá zase zpátky "x": $(\frac{x^{2}}{2})'=\frac{2\cdot x}{2}=x$ .

Integral123

konstantnu funkciu? to by slo, to je mozno este lahsie ako toto co som napisal.. ja tie pojmy neovladam, ked som sa pozeral na ten znak integralu take predlzene "S" tak hore bolo cislo a dole bolo cislo na tych koncoch, to tiez neviem co je, ten riemanov integral vyzera dost jednoducho, aj tam pisu ze je to najjednoduchsi tip integralu

Sherlock

Ano, plocha pod křivkou nebo nad křivkou (když je záporná) funkce $f(x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ se spočítá jako:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]^{b}_{a}=F(b)-F(a)$

Kde $F(x)$ je primitivní funkce k funkci $f(x)$ a platí $F'(x)=f(x)$

Předpokládáme že funkce je na $\langle a,b\rangle$ buďto jenom kladná nebo jenom záporná. Kdyby se její hodnota na tomto intervalu střídala, bylo by potřeba to rozdělit na víc integrálů.

Dále si prostuduj odkaz.

Integral123 · 27. 06. 2014 13:11

ok idem si to prestudovat a inac je to tazke na pochopenie tato problematiku integralu? chcel by som sa to naucit aj take komplikovanejsie neskor

Sherlock

↑ Integral123:

Co se úvodu do integrálního počtu týče - těžký mi to rozhodně nepřišlo (v matematice je spousta horších věcí :-) )
Jenom to chce trochu cviku, co se konkrétních metod týče (per partes, substituce atd.)

Honzc · 27. 06. 2014 14:11

↑ Integral123:
Nejdříve se zkus podívat třeba Sem (to je určitý integrál - opravdu obsah plochy od osy x po křivku y=f(x) pro x v intervalu x=<a,b>)
A ještě jedna malá poznámka:
Jak v odkazu zjistíš, tak se tam sčítají plochy-obdélníky jejichž rozměry jsou vlastně délka=dx a výška=f(x) což je vlastně hodnota funkce v každém "x" bodu dělení. A když se dx bude blížit 0, tj. budeš to rozdělení zjemňovat, tak ten součet přejde na integrál (určitý).
On totiž symbol pro integrál je takový trochu znetvořený symbol pro sumu.
V tom odkazu co ti poslal↑ Sherlock: jsou už základní vzorečky pro výpočet neurčitého integrálu

Rumburak

↑ Integral123:

Ahoj.

K pochopení tzv. určitého integrélu je, myslím, užitečné zamyslet se nad následujjící situací:

Mějme na intervalu $(u, v) , u < v$ definovánu spojitou (a "ne příliš zvrhlou") funkci $f$ nabývající pouze
kladných hodnot. Zvolme pevně $a \in (u, v)$ . Pro libovolné $\xi \in (a, v)$ vznikne obrazec $\Omega(\xi)$ ohraničený
čtveřicí následujících křivek (dopručuji nákres):

- úsečkou odpovídající intervalu $\langle a, \xi \rangle$ na ose $x$ ,
- obloukem křivky o rovnici $y = f(x)$ nad intervalem $\langle a, \xi \rangle$ ,
- úsečkou z přímky o rovnici $x = a$ určenou podmínkou $0 \le y \le f(a)$ ,
- úsečkou z přímky o rovnici $x = \xi$ určenou podmínkou $0 \le y \le f(\xi)$ .

Je přirozené očekávat, že obrazec $\Omega(\xi)$ bude mít nějaký plošný obsah - jeho neznámou číselnou hodnotu
označme $S(\xi)$ . Tuto funkci $S$ proměnné $\xi \in (a, v)$ sice ještě definovánu nemáme, nicméně máme
o ní určité představy dané přirozenou geometrickou intuicí. Konkretně: když $A \subset B \subset C$ , kde $A, C$
jsou obdélníky a $B$ je "rozumný" obrazec, potom očekáváme, že jeho obsah bude roven alespoň obsahu
odélníka $A$ , ale nejvýše obsahu obdélnía $B$ . Pomocí těchto představ a na základě definice derivace není
těžké zjistit, že pokud výše uvažované funkce $S$ existuje, pak v každém bodě $\xi \in (a, v)$ splňuje rovnici
$S'(\xi) = f(\xi)$ . Tento výsledek vede přímo ke vzorci

$\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]^{b}_{a}=F(b)-F(a)$ ,

o němž se zmínil Sherlock a který je základem Newtonovy definice integrálu, při jiných definicích integrálu se
pak dokazuje jako věta - zpravidla pro funkci $f$ spojitou na daném intervalu . (Definic určitého integrálu je
více - od různých autorů, každá z nich má své výhody i nevýhody, ale to není téma pro začátečníka.)

Xellos · 27. 06. 2014 20:49

Prihodim dalsi link: studijny text FO

Integral123

prestudoval som si to PDFko a mam otazku - co je to primitivna funkcia? to mi trochu nie je jasne preco ju hladame a co to je, to mi je najmenej jasne z tych vsetkych pojmov.

Rumburak

↑ Integral123:

Jestliže na některém intervalu $J$ je funkce $f$ derivací funkce $F$ (tj. $F'(x) = f(x)$ pro libovolné $x \in J$ ),
potom ekvivalentně říkáme, že na intervalu $J$ je funkce $F$ primitivní funkcí k funkci $f$ . Proč při výpočtu
obsahu plochy "pod" křivkou o rovnici $y = f(x)$ hledáme primitivní funkci k $f$ , jsem se snažil vysvětlit ve svém
příspěvku ↑ Rumburak: . Zaměř svoji pozornost tam a když Ti něco z toho nebude jasné, tak se klidně zeptej.

Integral123

myslim ze uz som pochopil preco je pojem primitivna funkcia taky dolezity .. dakujem

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2014 12:39 — Editoval Integral123 (27. 06. 2014 12:39)

Integral

#2 27. 06. 2014 12:58

Re: Integral

#3 27. 06. 2014 13:00 — Editoval Integral123 (27. 06. 2014 13:02)

Re: Integral

#4 27. 06. 2014 13:03 — Editoval Sherlock (27. 06. 2014 13:04)

Re: Integral

#5 27. 06. 2014 13:11

Re: Integral

#6 27. 06. 2014 13:48 — Editoval Sherlock (27. 06. 2014 13:48)

Re: Integral

#7 27. 06. 2014 14:11

Re: Integral

#8 27. 06. 2014 18:15 — Editoval Rumburak (27. 06. 2014 18:18)

Re: Integral

#9 27. 06. 2014 20:49

Re: Integral

#10 29. 06. 2014 11:12 — Editoval Integral123 (29. 06. 2014 11:32)

Re: Integral

#11 30. 06. 2014 09:47 — Editoval Rumburak (30. 06. 2014 09:48)

Re: Integral

#12 10. 07. 2014 11:44 — Editoval Integral123 (10. 07. 2014 11:44)

Re: Integral

Zápatí