Matematické Fórum

canicula · 12. 07. 2014 09:46

Dobrý den,

Pokouším se vyřešit soustavu dvou rovnic v $\mathbb{C}$ .
Jedná se o příklad z Petákové, strana 139, příklad 56b.
$(1 + i)z - 3w = -7 - 6i \\2z + (2 + i)w = 6 + 5i$
Nedostanu se však dále než k roznásobení závorek
$z + zi - 3w = -7 - 6i \\2z + 2w + wi = 6 + 5i$
a odečtení druhé rovnice od první.
$zi = 0 \\-z - 5w + wi = -13 - 11i$

Prosím vás, jaký je další krok?

Freedy · 12. 07. 2014 10:08 — Editoval Freedy (12. 07. 2014 10:09)

Ahoj, odečtení druhé od první - zde by mě zajímalo jak ti mohli poté vzniknout opět dvě rovnice.

Nejlepší bude, si po roznásobení závorek, převést obě komplexní čísla na tvar a+bi. Čili:
$z=a+bi$
$w=c+di$
Poté soustava rovnic přejde do tvaru:
$a+bi+ai-b-3c-3di=-7-6i$ z čehož porovnáním reálné a imaginární složky dostáváš:
reálná část: $a-b-3c=-7$
imaginární část: $bi+ai-3di=-6i$ , resp. $a+b-3d=-6$

obdobně i druhou rovnici. Poté bude řešit soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých.

zdenek1 · 12. 07. 2014 10:28

↑ canicula:
Jednoduše první rovnici vynásob dvěma, druhou $(1+i)$ a rovnice odečti. DOstaneš jednoduchou lineární rovnici.

Jj · 12. 07. 2014 10:57

↑ canicula:

Zdravím. Nebo naopak - první rovnici vynásobit (1-i) a rovnice hned odečíst.

vanok · 12. 07. 2014 12:20

Pozdravujem.
Otazka:
Rad by som vedel, ci na strednej skole ziaci poznaju ine vektorove priestory ako realne vektorove priestory.
Ak nie, tak taketo cvicenie ↑ canicula: by nemalo byt v nejakej stredoskolskej zbierke prikladov. A to i ked metody riesenia sa podobaju na tie v realnych priestoroch, a aj ked sa da po upravach previest na realny lin. system ako tu ↑ Freedy:.
Ale podla akeho principu moze byt polozene stredoskolakovy cvicenie ktore je mimo stredoskolskeho ramca?
Na co potom sluzia platne osnovy?

jelena · 12. 07. 2014 14:55

Zdravím,

vanok napsal(a):
Rad by som vedel, ci na strednej skole ziaci poznaju ine vektorove priestory ako realne vektorove priestory.

nevzpomínám si, že by na SŠ byl zaváděn pojem "vektorový prostor" (pokud dobře odhadují význam, ve kterém tento pojem používáš). Lepší to ovšem bude vědět kolega Zdeněk. V jakém smyslu je tato úloha "kritická" pro SŠ (za předpokladu že pojem komplexního čísla je zaveden např. v takovém rozsahu - pan Krynický hodně používá sbírku Petákové pro výběr úloh i tuto z tématu)? Děkuji.

misaH · 12. 07. 2014 16:11 — Editoval misaH (12. 07. 2014 16:19)

↑ vanok:

Pojem vektorové priestor sa na SŠ explicitne nezavádza, žiaci napriek tomu prostriedky na riešenie podobných úloh majú, viď napríklad Freedy.

Nevidím žiaden problém.

Myslím, že je to ako na ZŠ, tam sa tiež neučí explicitne teória čísel, bolo by to neprimerane náročné.

Rumburak · 14. 07. 2014 10:04

↑ canicula:

Ahoj. Nevidím zde vůbec žádný problém. Soustava

$az + bw = p , \\ cz + dw = q$

s neznámými $z, w$ se dá nakonec řešit týmiž metodami, jako kdyby koeficienty $a, b, c, d, p, q$ byly reálné.
Například: je-li $a \ne 0$ , potom z první rovnice vyjádříme $z = \frac{p-bw}{a}$ , to dosadíme do druhé a máme

$c \cdot \frac{p-bw}{a} + dw = q$

atd. (výsledek pak algebraicky upravíme podle konkretních hodnot koeficientů).

Skutečností, že koeficienty jsou konkretní komplexní čísla, se však nabízí více variant postupu, z nichž některé
mohou být početně výhodnější než výše popsaná.

vanok · 14. 07. 2014 12:35

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Co pises, ze vypocty su tie iste ako v kazdom komutativnom telese, je pochopitelne pravda. Jedina otazka je, do akej miery stredoskolaci ovladaju taketo vypocty.

Rumburak

↑ vanok:
Ahoj.

Za mých SŠ studií jsme základní algebraiské operace s komplexními čísly (sčítání, odčítání, násobení, dělení) probírali.
Ale jak je tomu obecně dnes, to spolehlivě nevím - také jistě závisí na škole a na učiteli.

Otázkou je samozřejmě početní výhodnost onoho obecného postupu, pokud bychom ho aplikovali na konkretní
případ.

vanok · 14. 07. 2014 13:26

Ahoj ↑ Rumburak:,
Uplne suhlasim.

Freedy · 14. 07. 2014 16:25

Rumburak napsal(a):
↑ vanok:
Za mých SŠ studií jsme základní algebraiské operace s komplexními čísly (sčítání, odčítání, násobení, dělení) probírali.

Můžu říct, že tomu tak i je dnes, alespoň v případě gymnázia, nemluvě o matematickém semináři, kde se vyskytovali náročnější úvahy. Každopádně se komplexní čísla berou až nepřiměřeně krátce (přibližně 2 měsíce) (chápu že 2 měsíce na gymnáziu je něco jiného než 2 měsíce na jarošce, ale beru svojí školu za obecnější než nadupanou jarošku). Já například čekal, že by se při počítání s k.č. můžou na střední probírat nejen odmocniny ze záporných čísel, ale ukázat, proč lze řešit v komplexních číslech i úlohy typu sin(x) = 2, e^x < 0 apodobně. Ale k tomu radši někdy jindy :)

RadekHampl · 15. 07. 2014 10:26

Já musím tedy říci, že když jsem na střední škole učil (2003-2009), tak jsem tam CPLX čísla probíral poměrně hodně. Kromě jiného i proto, že to bylo elektro, takže tam je to jasné. Moivreova věta, Eulerův vzorec a jejich aplikace a další vlastnosti CPLX čísel použitelných v elektrotechnice byly samozřejmostí. A to nebyl gympl, ale "jen" střední škola :-)

Matematické Fórum

#1 12. 07. 2014 09:46

Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#2 12. 07. 2014 10:08 — Editoval Freedy (12. 07. 2014 10:09)

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#3 12. 07. 2014 10:28

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#4 12. 07. 2014 10:57

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#5 12. 07. 2014 12:20

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#6 12. 07. 2014 14:55

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

vanok napsal(a):

#7 12. 07. 2014 16:11 — Editoval misaH (12. 07. 2014 16:19)

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#8 14. 07. 2014 10:04

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#9 14. 07. 2014 12:35

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#10 14. 07. 2014 13:06 — Editoval Rumburak (14. 07. 2014 13:11)

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#11 14. 07. 2014 13:26

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

#12 14. 07. 2014 16:25

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

Rumburak napsal(a):

#13 15. 07. 2014 10:26

Re: Soustava dvou rovnic v množině komplexních čísel

Zápatí