Matematické Fórum

malarad · 16. 07. 2014 10:42

Ahoj, prosím o pomoc
vypočtěte $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|$ je-li $|\overrightarrow{u}|=13$ , $[\overrightarrow{v}]=19$ a $|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|=24$

Rumburak · 16. 07. 2014 11:39

Ahoj.

Chce to pohrát si se vzorcem $|\overrightarrow{w}|^2 = \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w}$ (vpravo je skalární součin).

sugyman · 16. 07. 2014 12:34

↑ Rumburak: Neutekl ti někde kosinus?
Já bych si ty vektory vyjádřil: $\vec{u}=(u_1,u_2,...,u_n)$ a $\vec{v}=(v_1,v_2,...,v_n)$ . Pak si vyjádřil součty $v_1^2+...+v_n^2$ , $u_1^2+...+u_n^2$ a $(u_1+v_1)^2+...+(u_n+v_n)^2$ . No a z toho nakonec $(u_1-v_1)^2+...+(u_n-v_n)^2$ .
Není to zrovna pěkné, ale k cíli to docela rychle vede

BakyX · 16. 07. 2014 12:56

↑ malarad:

Je to vlastne úloha, kde máš pomocou dvoch strán rovnobežníka a uhlopriečky vypočítať veľkosť druhej uhlopriečky.

Platí, že súčet štvorcov strán je rovný súčtu štvorcov uhlopriečok, z toho ľahko máš výsledok 22.

Rumburak

↑ sugyman:

Neutekl ti někde kosinus?

No dobře, tak tedy $|\overrightarrow{w}|^2 \cdot \cos 0 = \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{w}$ . :-)

malarad · 16. 07. 2014 13:09

všem děkuju :-)

malarad · 17. 07. 2014 16:02

↑ BakyX:
ještě se chci zeptat, od čeho je odvozeno, že součet stran čvterců rovnoběžníku je roven součtu čtverců uhlopříček

Takjo · 17. 07. 2014 16:07

↑ malarad:
Dobrý den,
řekl bych, že se to dá odvodit z kosinové věty, aplikované na výpočet úhlopříček v rovnoběžníku při znalosti délky stran a úhlu jimi sevřeného... :)

malarad · 17. 07. 2014 16:12

↑ Takjo:
díky, tak já to jdu teda ověřit, případně budu reklamovat :-)

Rumburak

↑ malarad:

Analytický důkaz (viz návod v ↑ Rumburak:):

Pro libovolné vektory $\vec{u}, \vec{v}$ a při obvyklé ("eukleidovské") definici velikosti vektoru platí

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u}(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{v}(\vec{u} + \vec{v}) = \\ = \vec{u}\vec{u} + \vec{u}\vec{v} + \vec{v}\vec{u} + \vec{v}\vec{v} =|\vec{u}|^2 + 2 \vec{u}\vec{v} + |\vec{v}|^2$ ,

tím je dokázána identita

(1) $|\vec{u} + \vec{v}|^2 =|\vec{u}|^2 + 2 \vec{u}\vec{v} + |\vec{v}|^2$ ,

analogicky

(2) $|\vec{u} - \vec{v}|^2 =|\vec{u}|^2 - 2 \vec{u}\vec{v} + |\vec{v}|^2$ .

Součtem rovnic (1) a (2) dostáváme

(3) $|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2|\vec{u}|^2 + 2|\vec{v}|^2$ ,

což je tzv. rovnoběžníkové pravidlo, které ihned vede k vyřešení Tvé úlohy.

Proč se nazývá rovnoběžníkové:
Máme-li rovnoběžník $ABCD$ (cyklické označení) a označíme-li $\vec{u} = B-A , \vec{v} = D-A$ ,
potom $C-D = B-A = \vec{u}$ (podle předpokladu, že jde o rovnoběžník), takže

$C-A = (C-D) + (D-A) =\vec{u} + \vec{v}$ ,
$B-D = (B-A) - (D-A) = \vec{u} - \vec{v}$ .

Podle (3) pak bude

$|C-A|^2 + |B-D|^2 = 2|B-A|^2 + 2|D-A|^2$ ,

podrobněji rozepsáno:

(4) $|C-A|^2 + |B-D|^2 = |B-A|^2 + |C-B|^2 + |D-C|^2 + |A-D|^2$ ,

což je věta, o které se zmiňoval kolega ↑ BakyX:.

Dalo by se dokázat, že pokud čtyřúhelník $ABCD$ není rovnoběžníkem, potom rovnost (4) neplatí.

BakyX · 18. 07. 2014 11:24 — Editoval BakyX (18. 07. 2014 11:25)

Rumburak napsal(a):
↑ malarad:

Dalo by se dokázat, že pokud čtyřúhelník $ABCD$ není rovnoběžníkem, potom rovnost (4) neplatí.

Malý doplnok: Pre štvoruholník $ABCD$ platí dokonca nerovnosť

$(a+c)^2+(b+d)^2 \ge 2e^2+2f^2$ ,

pričom rovnosť nastáva vtedy, keď je štvoruholník $ABCD$ rovnobežník. V prípade rovnosti dostávame zjavne rovnobežníkovú identitu.

Matematické Fórum

#1 16. 07. 2014 10:42

analytická geometrie

#2 16. 07. 2014 11:39

Re: analytická geometrie

#3 16. 07. 2014 12:34

Re: analytická geometrie

#4 16. 07. 2014 12:56

Re: analytická geometrie

#5 16. 07. 2014 13:07 — Editoval Rumburak (16. 07. 2014 13:09)

Re: analytická geometrie

#6 16. 07. 2014 13:09

Re: analytická geometrie

#7 17. 07. 2014 16:02

Re: analytická geometrie

#8 17. 07. 2014 16:07

Re: analytická geometrie

#9 17. 07. 2014 16:12

Re: analytická geometrie

#10 18. 07. 2014 10:20 — Editoval Rumburak (21. 07. 2014 10:26)

Re: analytická geometrie

#11 18. 07. 2014 11:24 — Editoval BakyX (18. 07. 2014 11:25)

Re: analytická geometrie

Rumburak napsal(a):

Zápatí