Matematické Fórum

Alexandra44441

Dobrý den,
potřebuji poradit s řešením rovnice v komplexním oboru. Rovnice vypadá následovně:

$cos(x).cosh(y)=cosh(x).cos(y)$

Děkuji.

Původní zadání je:

$cos(z)=cosh(z)$

ta vrchní část se týká reálne části původního zadání.

jelena · 21. 07. 2014 08:38

Zdravím,

nezkoušela jsi přepsat jednotlivé strany původní rovnice $\cos (z)=\cosh (z)$ do jejich exponenciálních tvarů (řekla bych, že úpravou jde dojit na součinový tvar rovnice)? Děkuji.

Jj · 21. 07. 2014 12:48 — Editoval Jj (21. 07. 2014 14:00)

↑ Alexandra44441:

Řekl bych, že možná (moc zkušeností z této oblasti nemám)

$\cos z=\cosh z$ , substituce z = iz: $\cos iz=\cosh iz \Rightarrow \cos(iz) = \cos(z)$ a s ohledem na periodicitu kosinu

$cos(iz + 2m\pi) = cos(z + 2n\pi) \Rightarrow iz + 2m\pi = z + 2n\pi$ m, n celé

$\Rightarrow z = (i+1)k\pi$ , k celé.

Další řešení zřejmě ze sudosti cosinu:

$\cos (-iz) = \cos (-z)=\cos z$ a dále podobně jako výše.

Edit: Ještě odkaz na řešení WA: Odkaz

+ Edit: Oprava chyby podle upozornění kolegy ↑ Brano:.

Brano · 21. 07. 2014 13:51 — Editoval Brano (21. 07. 2014 14:15)

↑ Jj:
asi tu je preklep
$\Rightarrow z = (i+1)+k\pi$ malo byt skor $z=(i+1)k\pi$

ja by som ale na zaklade tvojej rady postupoval trosku inak; myslim, ze by to bolo prehladnejsie takto

$\cos z=\cosh z$ dosadme $z=it$ , teda $\cos it = \cos t$ cize $\cos it - \cos t=0$ pouzijeme suctovy vzorec
$-2\sin\frac{it-t}{2}\sin\frac{it+t}{2}=0$ teda
$t\frac{i\pm 1}{2}=k\pi$ pre $k\in\mathbb Z$ cize $z=it=(i\pm 1)k\pi$ .