Matematické Fórum

TerezaG · 21. 07. 2014 01:13

Dobrý den,

řeším příklady ke zkoušce z matematické analýzy a mám příklad, kde mám najít první dvě derivace funkce y(x), které je řešením rovnice $y=2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}$ .

Řeším tak, že funkci zderivuji:

Výjde mi : $y'=\frac{2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}}{x}+\frac{2y'x^2-2xy}{x^2+y^2}$

Dostala jsem radu, že bych teď měla dosadit původní funkci, což je tedy $y=2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}$ ...
Znamená to, že tam, kde mám y, dosadím prostě tu šílenou funkci ?

V tom případě bude problém pouze v úpravě, že mi to nevychází..

Na konci už je mi postup jasný, zderivuji první derivaci a za y' dosadím to, co vyšlo v první derivaci... v tom případě je postup při první derivaci a dosazení celé rovnice, asi v pořádku.

Můžete mi, prosím, pomoct, jak na úpravu po dosazení ?

Moc moc děkuji.

OndrasV

Nemohlo by se použít $tg^{-1}(x)=cotg(x)$ ?

jelena · 21. 07. 2014 08:44

Zdravím,

úpravy jsem nekontrolovala, zda to tak vyjde, případně v MAW, ale

↑ OndrasV: nebylo by více pohodlné ve tvaru $y'=\frac{2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}}{x}+\frac{2y'x^2-2xy}{x^2+y^2}$ nahradit v prvním zlomku čitatel za původní funkci $\frac{2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}}{x}=\frac{y}{x}$ , případně se potom podívat, co dává vyjádření $y^{\prime}$ z výsledku? Děkuji

TerezaG · 21. 07. 2014 15:15

↑ jelena:

Já jsem asi hloupá, ale mohli by jste to trochu rozepsat ?

V mé nápovědě, kterou jsem dostala, mi není jasný postup, jak dotyčný dosadil :(

Zde: snad to půjde přečíst...

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-07/48480_DSC_2880.JPG

Děkuji :)

jelena · 21. 07. 2014 16:37

↑ TerezaG:

dosadil tak, jak mám v ↑ příspěvku 3:. Na papíře máš 3. řádek s "oranžovým" čitatelem. To je Tvůj výsledek:
$y'=\frac{$2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}$}{x}+\frac{2y'x^2-2xy}{x^2+y^2}$ (aby bylo lépe vidět, co nahrazujeme, tak jsem jen čitatel vzala do závorek.

Ale také v prvním zlomku, v čitateli můžeme nahradit závorku (...) za y, jelikož dle zadání platí $y=$2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}$$ . Proto $y'=\frac{\(y)}{x}+\frac{2y'x^2-2xy}{x^2+y^2}$ (záměrně všude používám závorky, abys viděla co se nahrazovalo). A to provedl hned po slovech "dosadím původní funkci". Je to jen způsob, jak si usnadnit další derivování. Tak to vidíš? Děkuji.

TerezaG · 21. 07. 2014 16:39

↑ jelena:
Aha, takhle jednoduché jsem to vážně nečekala a už to chápu, moc děkuji :))

TerezaG · 21. 07. 2014 18:34

Ještě jsem téma otevřela, protože mi nějak začalo vrtat hlavou, jak vím, že budu derivovat podle x... z toho, že funkce je daná y(x) ?

Děkuju.

jelena · 21. 07. 2014 19:05

↑ TerezaG:

na funkci $y=2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}$ bych se dívala jako na imlicitně zadanou funkci $F(x,y)=0$ , možná to bude ve více zvyklém zápisu $y-2x\text{tg}^{-1}\frac{y}{x}=0$ vidět lépe, přičemž můžeme zapisovat, že $y=f(x)$ (v zadání je takto zdůrazněno, že y je funkce od x zápisem $y(x)$ ). Tak se ještě podívej u vás na implicitní zadání funkce.

TerezaG · 21. 07. 2014 19:30

↑ jelena:
Dobře dobře, myslela jsem si to tak.

Moc děkuji :)

TerezaG · 22. 07. 2014 00:53

↑ jelena:

Ještě jednou budu otravovat, když jsme u těch derivací, kde y(x), snad tímto neporušuji pravidla.
Ale pokud mám derivovat funkci, kde y(x) ... $\ln \sqrt{x^2+y^2}$ , tak derivuji následovně:

$\ln \sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x$ z čehož mi vychází $\frac{x}{x^2+y^2}$ ve výsledcích mám ale $\frac{x+y}{x^2+y^2}$ , kde mám, prosím chybu ?

Děkuji.

Xellos · 22. 07. 2014 01:07

↑ TerezaG:

Povazujes $y$ za konstantu ked derivujes $x^2+y^2$ podla $x$ . Ma to byt

$2x+2y'y$

z coho

$y'=\frac{x+y'y}{x^2+y^2}$

$y'(x^2+y^2-y)=x$

$y'=\frac{x}{x^2+y^2-y}$

takze vo vysledkoch to mas asi zle.

jelena · 22. 07. 2014 10:19

TerezaG napsal(a):
snad tímto neporušuji pravidla.

:-) Ty mne testuješ - o pravidlech jsme spolu diskutovalY minimálně v 4 tématech. To je tak - pravidla lze považovat za kvalitně vytvořena, pokud jsou uživatelům pravidel ke prospěchu a není tak soustavná tendence pravidla obcházet. V tomto smyslu bych místní pravidla považovala za zdařená.

Samozřejmě, pokud je nějaká otázka rozpracována, nakonec je považována za ujasněnou, ale vznikne dotaz, ve kterém navazuješ, nebo rozporuješ předchozí debatu, tak je rozumné v tématu pokračovat a navázat na předchozí ujasněné momenty. Je prosím, abys psala celé zadání. Ze zápisu $\ln \sqrt{x^2+y^2}$ není úplně zřejmě, zda zadání je $f(x,y)=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ a Ty jsi hledala parciální derivaci po dx. Nebo je to původní znění, což spíš:

najít první dvě derivace funkce y(x), které je řešením rovnice $y=\ln \sqrt{x^2+y^2}$

.

Potom viz kolega ↑ Xellos: (a opět implicitně zadána funkce). Děkuji, zdravím.

TerezaG · 22. 07. 2014 11:47

↑ jelena:
Ano omlouvám se, je to tedy funkce Y(x).

Potřebovala bych tedy vysvětlit, kde se vzalo $y'(x^2+y^2-y)=x$ , zbytek chápu :)

Děkuij.

jelena · 22. 07. 2014 12:17

↑ TerezaG:

řešili jste rovnici $y'=\frac{x+y'y}{x^2+y^2}$ s neznámou $y^{\prime}$ . Ještě pro pořádek - jelikož pracuješ s funkci, potom bys měla alespoň úvodním zápisem zapsat podmínky pro def. obor. A podstatné - při vyjádření $y^{\prime}$ postupuješ stejně jako při řešení rovnic, tedy buď alespoň zapisovat podmínky úprav, nebo úplně korektně převádět do součinových tvarů a zapisovat pořádně kořen. Viz na papíře přechod k řádku $y^{\prime}=\frac{y}{x}$ (nad textem "druhá derivace...") - je jasné, že tak "hop" podělit levou a pravou stranu rovnice výrazy s neznámou nejde.

Pří nácviku vyjádření derivace implicitní funkce to možná nevadí, ale při vyšetření průběhu bys tak mohla přijít o podstatné informace (a ani slušné to není, jen tak podělit) :-) V pořádku? Děkuji.

TerezaG · 22. 07. 2014 12:23

↑ jelena:

:(

Stále nechápu, jak příjdu k výrazu $y'(x^2+y^2-y)=x$ .

Zbytek, definiční obor apod., je mi jasný.

Děkuji.

jelena · 22. 07. 2014 12:28

↑ TerezaG:

řešíš rovnici $y'=\frac{x+y'y}{x^2+y^2}$ , vynásobit jmenovatelem (za předpokladu, že je nenulový), všechno s $y^{\prime}$ nalevo, vytknout atd. Už v pořádku?

TerezaG · 22. 07. 2014 12:38

↑ jelena:

Ano ano, moc děkuji, už v pořádku :)

Matematické Fórum

#1 21. 07. 2014 01:13

Diferenciální počet funkcí více proměnných

#2 21. 07. 2014 06:39 — Editoval OndrasV (21. 07. 2014 06:40)

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#3 21. 07. 2014 08:44

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#4 21. 07. 2014 15:15

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#5 21. 07. 2014 16:37

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#6 21. 07. 2014 16:39

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#7 21. 07. 2014 18:34

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#8 21. 07. 2014 19:05

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#9 21. 07. 2014 19:30

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#10 22. 07. 2014 00:53

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#11 22. 07. 2014 01:07

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#12 22. 07. 2014 10:19

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

TerezaG napsal(a):

#13 22. 07. 2014 11:47

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#14 22. 07. 2014 12:17

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#15 22. 07. 2014 12:23

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#16 22. 07. 2014 12:28

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

#17 22. 07. 2014 12:38

Re: Diferenciální počet funkcí více proměnných

Zápatí