Matematické Fórum

jarrro · 04. 08. 2014 09:48 — Editoval jarrro (04. 08. 2014 09:49)

Ahojte
Môže existovať T1 (jednoprvkové množiny sú uzavreté) priestor a v ňom postupnosť ktorá má aspoň 2 rôzne limity ?
limita v zmysle, že ku každému okoliu limity existuje N také že každý člen postupnosti s indexom väčším ako N patrí do toho okolia
viem, že Hausdorfov priestor s takou postupnosťou neexistuje a tiež, že jednoznačnosť limít majú aj niektoré neHausdorffove priestory

Brano · 04. 08. 2014 10:34 — Editoval Brano (04. 08. 2014 17:32)

Uvazuj priestor $N$ prirodzenych cisel s kofinitnou topologiou; t.j. otvorene su vsetky tie mnoziny, ktorych komplement je konecny (a prazdna mnozina). Priestor je $T_1$ ale nie je $T_2$ . Postupnost $x_n=n$ ma ako limitu kazdy bod priestoru.

Ak uvazujes konvergenciu sieti tak mas dokonca aj ekvivalenciu: $X$ je $T_2$ prave vtedy ked kazda siet ma najviac jednu limitu.

Priestor kde kazda postupnost ma max jednu limitu sa vola $US$ . Plati $T_2\Rightarrow US\Rightarrow T_1$ a ziadna implikacia sa neda otocit. Priklad hore je priklad $T_1$ priestoru co nie je $US$ . Priklad priestoru co je $US$ a nie je $T_2$ je $R$ vsetky realne cisla s kospocitatelnou topologiou; t.j. otvorene su vsetky tie mnoziny, ktorych komplement je spocitatelny (a prazdna).

jarrro · 04. 08. 2014 15:36 — Editoval jarrro (04. 08. 2014 15:39)

↑ Brano:
Ďakujem
A keby sme to zosilnili, že hľadáme T1 priestor taký, že každá postupnosť buď nemá limitu alebo má aspoň 2 rôzne limity?

Brano · 04. 08. 2014 17:31

↑ jarrro:
tak taky neexistuje.

Ak ma kazda konvergentna postupnost aspon 2 limity, tak mozes uvazovat konstantnu postupnost $x_n=x$ ta urcite konverguje k $x$ a ak konverguje aj k $y\not=x$ potom kazde okolie $y$ obsahuje bod $x$ a teda priestor nie je $T_1$