Matematické Fórum

liamlim

Pro kladná $a,b,c$ splňující $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} = 1$ dokažte, že platí také rovnost $1+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}+\frac{ab}{c+1} = 2(ab+bc+ca)$

Tuto rovnost jsem odvodil před malou chvílí a moc se mi líbí. Chtěl jsem vymyslet nějakou zajímavou nerovnost, u které bude potřeba první předělat podmínku do jiného tvaru. Tady by snad i něco šlo vymyslet... Odvození rovnosti mám sepsané na pár řádcích v .pdf. Klidně to sem přepíšu časem.

edit: kdybych chvíli počkal s tímto příkladem, mohl bych ho napsat v zajímavější formě. Z dokazovaného příkladu totiž rychle plyne také rovnost $\frac{1}{abc} = 2 + \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Pomocí tohoto postupu jde třeba jednoduše odvodit nerovnost $\frac{1}{8} \ge abc$ . Ale tak to jde určitě více způsoby.

liamlim · 29. 07. 2014 14:34

↑ liamlim:

Odvodil jsem nerovnost tentokrát docela jednoduchou si myslím. Stačí zase upravit podmínku ze zadání. Protože se jedná o úlohu vzdáleně podobnou se zadáním v prvním příspěvku, vložím příklad sem. Nechce se mi zakládat další vlákno.

Pro reálná $a,b,c$ taková, že $a+b+c \ne 0$ a $a+b+c = abc+2$ dokažte nerovnost

$\frac{a^3+b^3+c^3+6}{a+b+c} \ge 3$

nikoma · 05. 08. 2014 02:53 — Editoval nikoma (05. 08. 2014 03:12)

liamlim napsal(a):
Pomocí tohoto postupu jde třeba jednoduše odvodit nerovnost $\frac{1}{8} \ge abc$ . Ale tak to jde určitě více způsoby.

Použiju jinej postup, není těžký si rozmyslet, že $\sum_{\text{cyc}} \frac{a}{a+1} = 1 \Leftrightarrow \exists x,y,z \in \mathbb{R}^{+}: a = \frac{x}{1 - x} \wedge b = \frac{y}{1 - y} \wedge c = \frac{z}{1 - z}$ , tedy máme podmínku $x + y + z = 1$ a chceme dokázat $1 \geq 8\prod_{\text{cyc}}\frac{x}{1 - x}$ Homogenizujme a chceme dokázat $1 \geq 8\prod_{\text{cyc}}\frac{x}{y + z}$ , což je zřejmé dle AG nerovnosti $8\prod_{\text{cyc}}\frac{x}{y + z} \leq 8\prod_{\text{cyc}}\frac{x}{2\sqrt{yz}} = 8 \cdot \frac{xyz}{8xyz} = 1$

EDIT: To řešení má výhodu, že nijak nemanipulujeme s tou podmínkou, pokud však podmínku roznásobíme, tak dostaneme $1 = 2abc + ab + bc + ca \geq 2abc + 3(abc)^{2/3}$ , tedy $abc \leq \frac{1}{8}$ , protože $1 \geq 2x + 3x^{2/3} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{1}{8}$ .

Matematické Fórum

#1 28. 07. 2014 18:26 — Editoval liamlim (28. 07. 2014 18:53)

Důkaz rovnosti

#2 29. 07. 2014 14:34

Re: Důkaz rovnosti

#3 05. 08. 2014 02:53 — Editoval nikoma (05. 08. 2014 03:12)

Re: Důkaz rovnosti

liamlim napsal(a):

Zápatí