Matematické Fórum

jelena · 06. 08. 2014 15:58

Zdravím,

námět na téma vznikl zde a jde jen o prázdninovou úlohu.

vanok napsal(a):
No ale ak niekto ma myslienky na to, ako napisat exoticku rovnicu priamok inych ako rovnobezne z osamy tak by to mohol dat rubriky "ostatne".

Je to úloha opačná známým "sestavit předpis křivky". Navržený předpis má být dostatečně exotický a přitom vyjadřovat přímku v prostoru, která není osám rovnoběžná.

K tématu bych potom přidala anketu, abyste mohli návrhy vyhodnotit. Děkuji.

Brano · 06. 08. 2014 16:09 — Editoval Brano (06. 08. 2014 16:12)

no ja som nejak z toho nepochopil, ze sa nad tym zamyslate seriozne.
V $R^3$ je to pomerne jednoduche.

Ak chceme vyjadrit priamku co je prienikom rovin $ax+by+cz=d$ a $px+qy+rz=s$ tak to mozme zahrnut do jednej rovnice takto $(ax+by+cz-d)^2+(px+qy+rz-s)^2=0$

a vlastne je to pomerne jednoduche aj vseobecne v $R^n$ . Ak chceme trebars vyjadrit priamku ktora ma smerovy vektor $v$ tak si najdeme bazu $v_1,..,v_{n-1}$ ortogonalneho doplnku k $v$ . A potom ak $r=(x_1,...,x_n)$ reprezentuje (vseobecny) polohovy vektor a nasa priamka ma prechadzat nejakym bodom $r_0$ tak hladana rovnica bude $(v_1\cdot (r-r_0))^2+...+(v_{n-1}\cdot (r-r_0))^2=0$ .

PS: takto vies samozrejme vygenerovat lubovolny afinny podpriestor $R^n$ - staci tam dat menej clenov.

jelena · 06. 08. 2014 18:59

↑ Brano: děkuji.

Očekávám i další návrhy (exotické - na pohled to jako přímka nevypadá, ale přímka se zjeví se při podrobnějším zkoumání - tedy bych poprosila neprozrazovat podrobně návod na vytvoření).

kolega Brano napsal(a):
no ja som nejak z toho nepochopil, ze sa nad tym zamyslate seriozne.

:-) no jak jinak, než seriozně - v srpnu?

vanok · 08. 08. 2014 14:55

Pozdravujem,
V sulade z prispevkom kolegu ↑ Brano:, mozeme sa vseobecnejsie pytat pre ake kvadraticke formy $q$ plati ze $q(x)=0$ je rovnica priamky (v $R^3$ ).

Eratosthenes

ahoj ↑ jelena:,

pokud by to nemusela být celá přímka a stačila by úsečka, jedno hezké maskování bych pro ni měl. Ona totiž sama definice úsečky jako průniku dvou polopřímek je zastaralá. Nabízím tuto:

Úsečka AB je prostá hypocykloida, kde pevná polodie je kružnice p nad úsečkou AB a hybná polodie je kružnice h s polovičním průměrem.

Přeloženo do lidštiny:

Na rovinu nalep libovolnou kružnici p, zevnitř k ní přilož kružnici h s polovičním průměrem a tu začni po p kutálet. Každý bod A kutálející se kružnice opisuje průměr kružnice nalepené.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-08/47229_USECKA.png

Chceš-li napsat rovnici té úsečky, zvol "vhodně", tj. zcela obecně :-) souřadnicovou soustavu a pro velký úspěch použij třeba vzorce pro dvojnásobný úhel. Úsečka je pak tvaru

$$ \begin{array}{lcr} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{array}$ = $ \begin{array}{lcr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ s_1 & s_2 & 1 \end{array}$ \cdot $ \begin{array}{lcr} \cos t & -\sin t & 0 \\ \sin t & \cos t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}$ \cdot $ \begin{array}{lcr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_1 & -s_2 & 1 \end{array}$ \cdot$

$\cdot $ \begin{array}{lcr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ o_1 & o_2 & 1 \end{array}$ \cdot $ \begin{array}{lcr} \cos ^2 t-\sin ^2 t & -2\sin t \cos t & 0 \\ 2\sin t \cos t & \cos^2 t-\sin^2 t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}$ \cdot $ \begin{array}{lcr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -o_1 & -o_2 & 1 \end{array}$ \cdot $ \begin{array}{lcr} a_1\\ a_2 \\ 1 \end{array}$$

kde [a_1;a_2] jsou souřadnice bodu X pro t=0.

Docela slušný převlek úsečky na geometrické maškarní...

PS: Takže až budete mít za úkol narýsovat úsečku a nebudete mít po ruce pravítko, nezoufejte - dvě kružítka docela stačí :-)

jelena · 13. 08. 2014 00:25

↑ Eratosthenes:

Také pozdrav a děkuji velice :-) Kolega vanok potvrdí, že při drobné debatě přes PM okolo této úlohy jsem napsala:

Když už jde o úlohu exotickou, tak bych byla potěšena, kdyby vznikl nějaký předpis s použitím goniometrických funkcí (tedy "na vlnách")

:-) vlny vidím. K tomu přidám opavské palmy (agávu jsem ale tento rok nezahlédla, musím pohledat).

PS: Takže až budete mít za úkol narýsovat úsečku a nebudete mít po ruce pravítko, nezoufejte - dvě kružítka docela stačí :-)

2 kružítka - takové bohatství.

kolega vanok napsal(a):
V sulade z prispevkom kolegu ↑↑ Brano:, mozeme sa vseobecnejsie pytat pre ake kvadraticke formy $q$ plati ze $q(x)=0$ je rovnica priamky (v $R^3$ ).

Tato otázka je zatím otevřená.

Eratosthenes · 13. 08. 2014 18:13

Ahoj ↑ jelena:,

no, dvě kružítka - to dnes má asi opravdu málokdo. Ale stačí kompl - ten je k mání častěji:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-08/46400_Usecka.gif

vanok · 22. 08. 2014 20:30 — Editoval vanok (22. 08. 2014 20:31)

Pozdravujem,
Niekto pocul nieco o izotropnych (isotropic, isotrope) vektoroch kvadratickej formy?

jelena · 26. 08. 2014 20:48

Zdravím,

na téma jsem nezapomněla, máme ještě poslední týden prázdnin.

↑ Eratosthenes:

děkuji za obrázek :-) Dvě kružítka třeba mívám, když jdu z papírnictví, jelikož u nás by se paní učitelka těžko v geometrii spokojila se sdělením, že máme doma počítač. Ale počet kružítek neuvěřitelně rychle klesá (pozorování - během prázdnin počet je konstantní - stále pozoruji kružítko ve stojánku a pořád tam je).

↑ vanok:

souvisí to nějak s pojmem izotropní přímky? Před dlouhými léty byl takový dotaz (bohužel, odkaz na podrobný materiál již je nefunkční). Děkuji.

vanok · 26. 08. 2014 21:53

Pozdravujem ↑ jelena:,
Vseobecne izotropne vektory x pre nejaku kvadraticku formu q su take ze q(x)=0.
Pre asociovanu bilinearnu formu su to vektory ktore su ortonormalne same sebe.
Ma to vela geometrickych vlasnosti.
Tiez pojem hyperbolickych rovin ma z tym suvis.
Na pokracovanie ( mozno)...

jelena · 01. 09. 2014 00:04

↑ vanok:

děkuji, prázdniny jsou pryč, anketu jsem přidala.

kolega vanok napsal(a):
Na pokracovanie ( mozno)...

:-) však brzy budou prázdniny podzimní.

------------------------------------

Úspěšný start do nového školního roku a zdárné podzimní maturity!

Brano (příspěvek 2)		14% - 1
vanok (příspěvek 4)		14% - 1
Eratosthenes (příspěvek 5)		28% - 2
vanok (příspěvek 8)		0% - 0
žádného		0% - 0
někoho jiného		0% - 0
"je mi to jedno" (c)		0% - 0
Lážovského hajného - žádná lesní cesta není dost přímá		14% - 1
nevím, co je přímka.		14% - 1
a je konec prázdnin :-)		14% - 1
Počet hlasujících: 2

Matematické Fórum

Anketa

#1 06. 08. 2014 15:58

Utajená přímka

vanok napsal(a):

#2 06. 08. 2014 16:09 — Editoval Brano (06. 08. 2014 16:12)

Re: Utajená přímka

#3 06. 08. 2014 18:59

Re: Utajená přímka

kolega Brano napsal(a):

#4 08. 08. 2014 14:55

Re: Utajená přímka

#5 11. 08. 2014 10:48 — Editoval Eratosthenes (11. 08. 2014 18:51)

Re: Utajená přímka

#6 13. 08. 2014 00:25

Re: Utajená přímka

kolega vanok napsal(a):

#7 13. 08. 2014 18:13

Re: Utajená přímka

#8 22. 08. 2014 20:30 — Editoval vanok (22. 08. 2014 20:31)

Re: Utajená přímka

#9 26. 08. 2014 20:48

Re: Utajená přímka

#10 26. 08. 2014 21:53

Re: Utajená přímka

#11 01. 09. 2014 00:04

Re: Utajená přímka

kolega vanok napsal(a):

Zápatí