Matematické Fórum

hew.hois · 08. 08. 2014 03:50

Buenas noches.
Hombres, pomozte mi s řešením této rovnice (Petáková str.55-cv.23b); x patři do oboru reálných ćísel:
$$$$ $\sin x +2\cos x=2$

Je evidentní, že x1=0, ale rovnice má ještě jedno řešení, ke kterému se musí dojít úpravou. A úpravy mě zatím nikam nedovedly: z pravé strany rovnice jsem vyrobil 2(sin x*sin x + cos x*cos x), pak jsem s tím počítal, ale na papíře se mi zatím jen kupí nepoužitelné zlomky gonio fcí v neupravitelných tvarech.
Nechci kompletní řešení, chci jen ukázat směr. Děkuji všem za reakci.

Honzc · 08. 08. 2014 06:41 — Editoval Honzc (08. 08. 2014 06:44)

↑ hew.hois:
Nápověda: $\cos x=\sqrt{1-\sin ^{2}x}$
Potom to co je pod odmocninou převést na jednu stranu a zbytek na druhou, umocnit a vyřešit kvadraticku rovnici

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

misaH · 08. 08. 2014 08:04 — Editoval misaH (08. 08. 2014 08:13)

↑ Honzc:

Ahoj.

Nemá byť fornálne AH?

jelena · 08. 08. 2014 09:00

Zdravím v tématu,

umocnění a odmocnění u goniometrických rovnic není ideální cesta, zde se více hodí převod na argument (x/2) pomocí goniometrických vzorců (i 2 napravo přepsat jako $2$\sin^2\(\frac{x}{2}$+\cos^2$\frac{x}{2}$\)$ , potom úprava na součinový tvar. Souhlasíte? Děkuji.

zdenek1 · 08. 08. 2014 09:08

↑ hew.hois:
postup podle ↑ jelena:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jelena · 08. 08. 2014 09:17

↑ zdenek1:

děkuji (jen skloňuj, prosím - podle ↑ jeleny:). Zkoušela jsem, zda není na postup od Tebe, vážený kolego, ale není, škoda.

zdenek1 · 08. 08. 2014 12:26

↑ jelena:

to je odkaz, jako třeba na literaturu, to se neskloňuje :-)
Dá se to udělat i tím druhým postupem, ale není to nic elegantního.
$\sin x+2\cos x=2\qquad |:\sqrt5$
$\frac{1}{\sqrt5}\sin x+\frac{2}{\sqrt5}\cos x=\frac{2}{\sqrt5}$
označme $\frac{1}{\sqrt5}=\cos \varphi$ a $\frac{2}{\sqrt5}=\sin \varphi$
Pak $\sin x\cos \varphi +\cos x\sin \varphi =\sin \varphi$
$\sin (x+ \varphi) =\sin \varphi$
$x+ \varphi =\varphi+2k\pi\qquad\vee \qquad x+\varphi =\pi-\varphi +2k\pi$

jelena · 08. 08. 2014 16:56

↑ zdenek1:

děkuji :-)

to je odkaz, jako třeba na literaturu, to se neskloňuje :-)

z toho plyne ponaučení, že do slovanských internetových diskusí je třeba volit jméno, které zůstává libozvučné a nemění smysl ani s předložkou (např. taková Elen by se snesla).

Dá se to udělat i tím druhým postupem, ale není to nic elegantního.

elegantní to je (úhly v trojúhelníku, kde jsou odvěsny 1 a 2), jen dokončení nepříliš elegantní. Ovšem jsem úplně zapomněla princip metody (psal jsi v některém příspěvku, pro které případy jde použit, jen ho nemohu najít).

zdenek1 · 08. 08. 2014 20:19

↑ jelena:
Obecně, když máš rovnici $a\sin x+b\cos x=c$ , tak ji vydělíš $\sqrt{a^2+b^2}$ , a pokud bude $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\in\langle-1;1\rangle$ , tak to bude fungovat vždy.
Samozřejmě, když vyjde $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ tabulková hodnota sinu, tak je to velmi efektní i efektivní.

OT: A co teprve, kdyby to bylo Elèn!

jelena · 09. 08. 2014 12:13

↑ zdenek1:

děkuji, měla bych se donutit občas i uvažovat (pokud bych ovšem měla čím :-)).

OT: A co teprve, kdyby to bylo Elèn!

jako geograficky název? Mělo by to však opět nevysvětlitelné numerologické dopady (již se mi měnil počet písmen ve jménu z 5 na 6 (a ani po 30 letech od změny jsem se nedopátrala všech důsledků), další změnu bych raději nezkoušela). Konec OT.

hew.hois · 12. 08. 2014 07:00

Díky všem za pomoc. Téma je vyřešené.

Matematické Fórum

#1 08. 08. 2014 03:50

Goniometrická rovnice

#2 08. 08. 2014 06:41 — Editoval Honzc (08. 08. 2014 06:44)

Re: Goniometrická rovnice

#3 08. 08. 2014 08:04 — Editoval misaH (08. 08. 2014 08:13)

Re: Goniometrická rovnice

#4 08. 08. 2014 09:00

Re: Goniometrická rovnice

#5 08. 08. 2014 09:08

Re: Goniometrická rovnice

#6 08. 08. 2014 09:17

Re: Goniometrická rovnice

#7 08. 08. 2014 12:26

Re: Goniometrická rovnice

#8 08. 08. 2014 16:56

Re: Goniometrická rovnice

#9 08. 08. 2014 20:19

Re: Goniometrická rovnice

#10 09. 08. 2014 12:13

Re: Goniometrická rovnice

#11 12. 08. 2014 07:00

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí