Matematické Fórum

matoxy · 18. 02. 2009 21:03 — Editoval matoxy (18. 02. 2009 21:19)

Zdravím,

mal by som taký problém v škole sme dostali rátali (a nedorátali) takýto príklad:
$(3+\sqrt8)^x+(3-\sqrt8)^x=34$ .
Napadlo ma to riešiť rozkladom oboch ľavých zátvoriek pomocou binomickej vety a keďže je v druhej zátvorke pre sqrt8 mínu po sčítaní rozkladov nám vypadnú všetky členy kde bude sqrt8 umocnené na nepárny exponent. Potom sa dopátrame ku riešeniu rovnice x=2, ale len tak že si skúsime dosadiť dva a sedí to. To by sme však v podstate mohli robiť už hneď aj bez rozkladu. Okrem toho malo výsť aj x_2=-2 a to mi nevychádza. Ako by sa to malo riešiť?

Editace: čosi ušlo:)

halogan · 18. 02. 2009 21:07

↑ matoxy:

Nějak ti něco chybí v zadání.

Chrpa · 18. 02. 2009 21:08

↑ matoxy:
Opravdu si myslíš, že uvedená rovnost platí?

lukaszh

↑ matoxy:
A čo takýto prevod:
$3-\sqrt{8}=(3-\sqrt{8})\cdot\frac{3+\sqrt{8}}{3+\sqrt{8}}=\frac{1}{3+\sqrt{8}}$

Potom sa ti rovnica pomerne jednoducho prevedie na tvar:
$\varphi+\frac{1}{\varphi}=34$
po substitúcii $(3+\sqrt{8})^x=\varphi$

Inak k tej binomickej vete. Ak predpokladáš, že $x\in\mathbb{R}$ , tak treba používať zovšeobecnenú binomickú vetu. Tá klasická stredoškolská je pre prirodzené čísla.

Cheop · 19. 02. 2009 06:48

↑ matoxy:
Opravdu podle postupu ↑ lukaszh: už jednoduchou úpravou vyjde $x=\pm\,2$

matoxy · 19. 02. 2009 07:50

Stále mi celkom nejde vypočítať ten príklad.
Toto $\varphi+\frac{1}{\varphi}=34$ ide upraviť na $\varphi^2-34\varphi+1=0$ . Z toho $\varphi_{1,2}=17\pm12.\sqrt2$ .
Máme teda rovnicu $(3+\sqrt8)^x+(3-\sqrt8)^x=17\pm12.\sqrt2$ . Tu 2 a -2 sedí, ale ako k tomu prídeme?

Cheop · 19. 02. 2009 08:00 — Editoval Cheop (19. 02. 2009 08:01)

↑ matoxy:
$(3+\sqrt{8})^x=\varphi$
tj:
$(3+\sqrt{8})^x=17\pm12\sqrt 2$
Zkus to logaritmovat

matoxy · 19. 02. 2009 08:26 — Editoval matoxy (19. 02. 2009 08:27)

A potom výde: $x_{1,2}=\frac{log(17\pm12\sqrt2)}{log(3+\sqrt8)}$ . To už iba pomocou kalkulačky alebo sa tam dá ešte nejaká úprava?

Cheop · 19. 02. 2009 10:50

↑ matoxy:
Už jenom vyčíslit na kalkulačce ten logaritmus a uvidíš, že to vyjde požadovných +-2

musixx · 19. 02. 2009 12:07 — Editoval musixx (19. 02. 2009 12:11)

↑ Cheop: Rozumim, kam miri ↑ matoxy: Jde o to, ze kdyz to vyjde "hezky", tak proc to mit vyjadreno tak "silene" jako $log_{3+\sqrt8}(17\pm12\sqrt2)$ a "duverovat jen kalkulacce". Samozrejme si s tim jde pohrat.

Je totiz $(3+\sqrt8)^2=9+8+6\sqrt8=17+6\cdot2\sqrt2=17+12\sqrt2$ a $(3+\sqrt8)^{-2}=\frac1{(3+\sqrt8)^2}=\frac1{17+12\sqrt2}=\frac{17-12\sqrt2}{(17+12\sqrt2)(17-12\sqrt2)}=\frac{17-12\sqrt2}1=17-12\sqrt2$ , a proto plati:

$x_1=\frac{\log(17+12\sqrt2)}{\log(3+\sqrt8)}=\frac{\log((3+\sqrt8)^2)}{\log(3+\sqrt8)}=\frac{2\log(3+\sqrt8)}{\log(3+\sqrt8)}=2$

$x_2=\frac{\log(17-12\sqrt2)}{\log(3+\sqrt8)}=\frac{\log((3+\sqrt8)^{-2})}{\log(3+\sqrt8)}=\frac{-2\log(3+\sqrt8)}{\log(3+\sqrt8)}=-2$

Cheop · 19. 02. 2009 12:38 — Editoval Cheop (19. 02. 2009 12:38)

↑ musixx:
Ano máš naprostou pravdu jde to tedy ještě upravit,
ale v době moderních kalkulaček já už nic neupravuji a
pokud mě vyjde logaritmus, tak to hned házím do stroje.

PS: Jinak moc hezká úprava.

musixx · 19. 02. 2009 13:06

↑ Cheop: Jiste, kalkulacce se samozrejme vubec nebranim. Ale kdyz kalkulacka ukaze vysledek, ktery bude "pravdepodobne" hezky, tak stoji zato si dokazat, ze se napriklad zadna desetinna mista neschovala za jeji zobrazitelnost. Ostatne tady jsem vicemene vysledek z kalkulacky vyuzil (ne pouzil), protoze jak by me jinak melo napadnout, ze se mam zrovna divat na druhou a minus druhou mocninu z cisla $3+\sqrt8$ ? ... Ale jo, mohlo by me to napadnout, treba se v ${\mathbb Q}(\sqrt2)$ divat na mocniny $(3+2\sqrt2)^n$ a zkoumat, kdy to bude $17+a\sqrt2$ , ale o to v teto uloze preci nejde, to je jasne. :-)

matoxy · 20. 02. 2009 19:56

:) Ďakujem úplne jasné sám neviem, či by som našiel tú úpravu.

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2009 21:03 — Editoval matoxy (18. 02. 2009 21:19)

Exponenciálna rovnica

#2 18. 02. 2009 21:07

Re: Exponenciálna rovnica

#3 18. 02. 2009 21:08

Re: Exponenciálna rovnica

#4 18. 02. 2009 21:36 — Editoval lukaszh (18. 02. 2009 21:41)

Re: Exponenciálna rovnica

#5 19. 02. 2009 06:48

Re: Exponenciálna rovnica

#6 19. 02. 2009 07:50

Re: Exponenciálna rovnica

#7 19. 02. 2009 08:00 — Editoval Cheop (19. 02. 2009 08:01)

Re: Exponenciálna rovnica

#8 19. 02. 2009 08:26 — Editoval matoxy (19. 02. 2009 08:27)

Re: Exponenciálna rovnica

#9 19. 02. 2009 10:50

Re: Exponenciálna rovnica

#10 19. 02. 2009 12:07 — Editoval musixx (19. 02. 2009 12:11)

Re: Exponenciálna rovnica

#11 19. 02. 2009 12:38 — Editoval Cheop (19. 02. 2009 12:38)

Re: Exponenciálna rovnica

#12 19. 02. 2009 13:06

Re: Exponenciálna rovnica

#13 20. 02. 2009 19:56

Re: Exponenciálna rovnica

Zápatí