Matematické Fórum

Kdosi · 03. 08. 2014 16:12 — Editoval jelena (03. 08. 2014 21:35)

Příjemné odpoledne.
Odvozoval jsem si vzorec pro výpočet objemu pravidelného čtyřbokého jehlanu podrobný popis odvození a došel jsem do matematických končin, které jsou mi (věřím pouze zatím) skryty.
Došel jsem k něčemu takovému:
$\lim_{x\to0}\sum_{c=0}^{\frac{S_{p}}{x}}((S_{p}-cx)\frac{vx}{S_{p}})$
Pokud byl můj postup správný a to co jsem napsal je vůbec "možné" tak by výsledek měl být $\frac{1}{3}S_{p}v$ .
Byl bych rád, kdyby mi alespoň někdo řekl, že něco takového existuje.
Děkuji za odpověď.
P.S. Doufám, že je moje otázka zařazena do správné sekce.

misaH · 03. 08. 2014 16:20 — Editoval misaH (03. 08. 2014 16:20)

↑ Kdosi:

Objem hranola

$V=S_p\cdot v$

Kdosi · 03. 08. 2014 16:36

Ano, omlouvám se, jaksi jsem se spletl. Mělo tam být "jehlanu", už jsem to opravil.↑ misaH:

jelena · 03. 08. 2014 16:52

↑ Kdosi:

Zdravím,

"rozřezal" jsi jehlan na hranoly o velmi malé výšce x (proto jednotlivé "plátky" můžeme považovat za hranoly) a počítáš objem jako součet objemů těchto hranolů? Nebo nějak jinak?

Popiš ještě, prosím, Tvé označení a techniku odvození vzorce. Děkuji.

Kdosi · 03. 08. 2014 19:35

Ano, to jsem měl asi udělat hned na začátku, promiňte.
Známe dva parametry: $v$ (=výška jehlanu), $S_{p}$ (=obsah podstavy).
Jak jste říkala, jehlan rozkrájím na malinkaté hranoly o výšce, řekněme $y$ . Obsah prvního hranolu bude tedy $S_{p}*y$ .
Jenže další hranoly budou pořád menší a menší. Zvolíme se tedy velmi, velmi malé číslo ( $x$ ) a jeho násobky budeme postupně odečítat od $S_{p}$ a tento rozdíl násobit výškou malého hranolu, tedy $y$ . Tyto stále menší a menší hranoly budeme spolu sčítat, od tud suma: $\sum_{}^{} (S_{p}-cx)y$ ( $c$ nám "pomáhá" vytvářet násobky velmi, velmi malého $x$ ).
Stále však nevíme "od kud, kam" suma bude (omlouvám se, neznám přesnou terminologii). První, tedy největší hranol bude mít podstavu celou $S_{p}$ , žádné malé $x$ od podstavy neodečteme, to docílíme tím, že začneme u $c=0$ . Končit však bude až hranol bude tak malý, že vlastně vůbec nebude, tedy až objem hranolu bude nula. (budeme přičítat pořád menší a menší hranoly, než začneme přičítat nic). Výška je pořád stejné, malé $y$ , takže podstava musí být nulová, aby jsme docílili nulového objemu. Tím pádem řešení rovnice $S_{p}-cx=0$ (pro neznámou $c$ ), tedy $c=\frac{S_{p}}{x}$ , bude koncová hodnota sumy. Proto bude suma zatím vypadat takto: $\sum_{c=0}^{\frac{S_{p}}{x}}((S_{p}-cx)y)$ .
Jelikož známe $v$ výšku celého jehlanu mohli bychom si odvodit i $y$ , malinkou výšku, nízkého hranolu. Označme si počet členů, které sečteme, tedy počet stále menších a menších hranolů, $n$ . Potom řešením rovnice $v=ny$ (pro neznámou $y$ ) zjistíme hodnotu $y$ . Bude to $y=\frac{v}{n}$ . $n$ je počet malých hranolů, tedy počet sečtených členů. Ten bychom měli zjistit tak, že od horního okraje sumy odečteme spodní (opět se omlouvám za svoji terminologii). Tedy $\frac{S_{p}}{x}-0=\frac{S_{p}}{x}$ , tím pádem $n=\frac{S_{p}}{x}$ . Proto můžeme říct, že $y=\frac{v}{\frac{S_{p}}{x}}=\frac{xv}{S_{p}}$ . Výsledná suma bude tedy vypadat takto: $\sum_{c=0}^{\frac{S_{p}}{x}}(S_{p}-cx)\frac{vx}{S_{p}}$ .
$x$ je velmi, velmi malé číslo jehož násobky odečítáme od povrchu podstavy hranolu ( $S_{p}$ ). Jeho minimální hodnotu docílíme tím, že jej pomocí limity pošleme k nule. Po tomto úkonu dostaneme, mnou již uveřejněný, "vzorec" $\lim_{x\to0}\sum_{c=0}^{\frac{S_{p}}{x}}(S_{p}-cx)\frac{vx}{S_{p}}$ .
Ve vzorci nám tedy zbyly dva parametry $S_{p}$ a $v$ , dále $c$ , které se bude měnit za pomocí sumy, a na konec $x$ , které jsme poslali k nule.
Můžeme si povšimnout, že horní okraj intervalu sumy je "něco lomeno něčím extra malým", takže bude směřovat k nekonečnu. To nám vysvětlilo možné, menší nejasnosti ohledně výpočtu horního intervalu sumy.
Doufám, že jsem celou mou úvahu popsal dostatečně srozumitelně, kdyby jste něco nepochopili stačí napsat, pokusím se to upřesnit. Je také možné, že jsem se v popisu dopustil chyby, za ty se omlouvám a prosím o upozornění (nemyslím pravopisné, za ty mNě rovnou zastřelte :) ).

jelena · 03. 08. 2014 21:34

↑ Kdosi:

děkuji za podrobný popis. Zvolil jsi zajímavé téma - jednu z technik odvození vzorce pro objem jehlanu (jedno z možných zakreslení (obdobně můžeš provést pro čtverec v podstavě)). Předpokládám však, že odkaz na metodu by v této fázi pro Tebe nebyl zajímavý (navíc žádný pořádný neumím najít :-)) a máš v plánu vzorec odvozovat sám.

Bohužel i z mého neodborného pohledu v zápisech máš dost nejasných momentů (spíš je to taková Tvá představa o problému, kterou jsi popsal formou, co Tobě je jasná), ale pravděpodobně popis nepokrývá. K tomu by bylo lepší pohled odborně zdatných kolegů.

Pro začátek bych se neupírala na formální zápis sum, ale na pokus o řešení úlohy pro předem daný konečný počet dělení výšky. Co z toho vzejde? Potom byste se mohli pokusit s kolegy zápis formalizovat. Předpokládám, že je to takový prázdninový záměr, který nijak nespěchá - tak?

Zatím trošku upravím název tématu a přesunu do sekce Zajímavých úloh z mat. analýzy. Děkuji kolegům za zapojení do problému (přesunem z problému vystupuji, ale naformulováno máte).

----------
"Nicmene o odvozeni techto vzorcu bez pouziti jiz zmineneho integralu nemam zatim tuseni." (c)

Bati · 04. 08. 2014 00:06

↑ Kdosi:
Ahoj.
Je tam několik zásadních problémů. Většině z malých hranolů přísluší navzájem různá výška, proto je třeba je sčítat v nějakém pořadí a brát v úvahu, že jejich výška závisí na c. Dále, aby to sedělo jednotkami, bylo by lepší zvolit $x$ jako malou jednotku plochy. To stále ale neřeší problém, že zvolím-li nějaké náhodné malé $x$ , nemám zaručenu existenci celočíselného $c$ takového, že $S_p-cx=0$ .

Zkrátka: dělá se to jinak. Asi nejintuitivnější je využít stejný postup jako při konstrukci Riemannova integrálu - tedy začnu tím, že si zvolím tzv. dělení. V tomto konkrétním příkladě bude vhodné si rozdělit podstavu na obdélníčky se stejnou plochou. Máme-li obdélníkovou podstavu $S_p$ , označíme $a$ a $b$ její strany a pro $n\in\mathbb{N}$ definuji strany jednoho dílku $a_n:=\tfrac{a}{n}$ , $b_n:=\tfrac{b}{n}$ . Pokud to takto udělám, vím hned, že celkový počet dílků je $n^2$ . Nyní je třeba určit výšku, příslušící určitému obdélníčku - k tomu potřebujeme znát jeho pozici, takže je bude třeba oindexovat (lze však využít symetrií) a přes tyto indexy pak sečíst. Takto by ses měl dopracovat k určitému součtu, který už bude záviset pouze na $n$ . To pošleš limitně do nekonečna. Víme, že výsledná limita musí být konečné kladné číslo (je to číslo mezi 0 a objemem opsaného hranolu), ovšem pokud umíme počítat pouze objem hranolů, tak nemáme nijak zaručeno, že výsledná limita je opravdu objem daného jehlanu. To se dá vyřešit zavedením dolního a horního součtu - pokud ukážeme že oba konvergují ke stejné limitě, víme, že to je hledaný objem.

K odvození objemu jehlanu bych ale asi zvolil úplně jiný přístup, myslím že jsem někde viděl šikovné rozřezání kvádru, odkud už to bylo snadné. Na druhou stranu postup výše nevyžaduje žádnou větší myšlenku a také vyžaduje pouze základní věty o limitách.

Kdosi · 04. 08. 2014 10:39 — Editoval Kdosi (04. 08. 2014 10:41)

Ano, vyzkoušet to pro konečný počet malých hranolů měl být asi můj první zájem. Dodatečně jsem tedy za pomoci Wolfram Alphy zkoušel počítat sumu pro mnou zvolené malé číslo (typu 10^-15) avšak výsledek se pohyboval neustále kolem čísla 0,5. Poté se mi do Wolframu povedlo nasoukat celý můj původní výraz (http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … +x-%3E0%29), avšak výsledek pouze potvrdil Vaše připomínky a mé rozpaky po zkoušce s velmi malým, mnou zvoleným číslem. Wolfram mi vypočítal $\frac{1}{2}S_{p}v$ , nikoli však "hledané" $\frac{1}{3}S_{p}v$ .

Moc děkuji za Vaše připomínky, cením si jich. Různost výšek malých hranolů mne napadla, ale myslel jsem, že když ji pošleme k nule, bude tak malá, že rozdíl mezi něčím skoro nula a skoro nula nebude (jsou to asi jen takové moje představy, takže se opravdu velmi omlouvám za můj popis).
Stejně tak mne napadla možná neceločíselnost $\frac{S_{p}}{x}$ , ale zase spoléhal na to, že když se $x$ blíží nule, celý výraz by se měl blížit oo a proto by to nemusel být problém.
Jsou to asi jen moje představy a i když mne to napadlo nebyl jsem zatím schopný vymyslet nic čím bych tyto nejasnosti eliminoval.

Postup popsaný "Batim" je zajímavý, jakštakš chápu začátek, ale nepochopil jsem část s "oindexováním" malých obdélníčků.

Odvození vzorce z "chytře" narýsovaného kvádru jsem myslím taky vyděl a očividně je jednoduší, ale chtěl jsem se pokusit "zdolat" jehlan touto cestou.

Děkuji za Vaši snahu a připomínky k mému původnímu návrhu. Naprosto bych pochopil, kdyby se někomu nechtělo vysvětlovat mně, člověku, který v mat. analýze není zběhlý, své nápady na úrovni.

P.S. Kdyby se o to někdo přece jen pokusil, myslím, že bude pro všechny snazší používat S bez spodního indexu p. Přeci jenom tady zatím pracujeme pouze s jedním S.

Rumburak

↑ Kdosi:

Ahoj.

Výhodnější je následující postup:

Umístíme jehlan do kartéské soustavy souřadnic $Pxyz$ tak, aby

- jeho vrchol splýval s počátkem $P$ ,
- podstava byla kolmá k ose $x$ a její rovina protínala osu $x$ v bodě $[v , 0, 0]$ , kde $v$ je výška jehlanu .

Nyní vedeme jehlanem řezy rovnoběžné s podstavou. Každý takový (resp. jeho rovina) protíná osu $x$
kolmo v nějakém průsečíku $[x, 0, 0]$ , kde $0 < x < v$ . Průnikem jehlanu s řezem odpovídajícím
bodu $[x, 0, 0]$ bude obrazec $\Omega(x)$ stejnolehlý a tudíž podobný s podstavou, koeficient stejnolehlosti
je $\frac{x}{v}$ . Obsah obrazce $\Omega(x)$ proto bude $S_p$\frac{x}{v}$^2$ , kde $S_p$ je obsah podstavy.

Zkus pokračovat . ... :-)

Kdosi · 05. 08. 2014 23:37

Dobrý den, v prvé řadě bych se chtěl omluvit, že reaguji až teď. Nějakou dobu mi trvalo než jsem zase postoupil.
Umístil jsem tedy jehlan do kartézské soustavy souřadnic Pxyz podle popisu "Rumburaka", tedy tak aby:
- jeho vrchol splýval s počátkem $P$ ,
- podstava byla kolmá k ose $x$ a její rovina protínala osu $x$ v bodě $[v , 0, 0]$ , kde $v$ je výška jehlanu.

Moc děkuji za radu s obsahem obrazce: $\Omega(x)=S_p$\frac{x}{v}$^2$ . Tedy obsah podstavy v libovolném bodě $x$ .
Dále jsem pokračoval:
Osu $x$ rozdělíme na $n$ částí, tak aby: $0=x_{1}<x_{2}<x_{3}<\ldots <x_{n-1} <x_{n}=v$
Potom tedy můžeme říct, že obsah i-tého hranolu je $V_{i}=\Omega (x_{i} )*(x_{i}-x_{i-1})$ .
Objem celého jehlanu: $V=\sum_{i=1}^{n}\Omega (x_{i} )*(x_{i}-x_{i-1})$ .
Využil jsem Lagrangeova věta o střední hodnotě, která zní:
"Nechť funkce $f(x)$ , je spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$ a má v každém bodě intervalu $(a,b)$ , derivaci. Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že platí $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . (http://cs.wikipedia.org/wiki/V%C4%9Bta_ … po%C4%8Dtu)

Pro naše použití můžeme napsat: Nechť $\varrho \in (x_{i-1},x_{i})$ a $F(x)=\int_{}^{}\Omega (x)$ , poté $\Omega (\varrho )=\frac{F(x_{i})-F(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}$
Po vynásobení $(x_{i}-x_{i-1})$ dostáváme: $\Omega (\varrho )*(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$

Proto: $V=\sum_{i=1}^{n}\Omega (x_{i} )*(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}F(x_{i})-F(x_{i-1})$
$\sum_{i=1}^{n}F(x_{i})-F(x_{i-1})= (F(x_{1})-F(x_{0}))+ (F(x_{2})-F(x_{1}))+ (F(x_{3})-F(x_{2}))+ \ldots \ldots + (F(x_{n-1}-F(x_{n-2}))+ (F(x_{n})-F(x_{n-1}))$
Vidíme, že v sumě se vždy první člen v závorce odečte s druhým členem v závorce následující (takto na řádku je to možná trochu nepřehledné, lépe to jde viděl ve sloupci, ale to se mi bohužel v LaTeXu nepodařilo). Z celé sumy tedy zbude: $F(x_{i})-F(x_{0})$ . Proto $\sum_{i=1}^{n}F(x_{i})-F(x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{0})=V$ .
$V=\int_{}^{}\Omega (x_{n})dx-\int_{}^{}\Omega(x_{0})dx=\int_{}^{}S_{p}(\frac{x_{n}}{v})^2dx-\int_{}^{}S_{p}(\frac{x_{0}}{v})^2dx=\int_{}^{}\frac{S_{p}}{v^2}x_{n}^2dx-\int_{}^{}\frac{S_{p}}{v^2}x_{0}^2dx=\frac{S_{p}}{v^2}\int_{}^{}x_{n}^2dx-\frac{S_{p}}{v^2}\int_{}^{}x_{0}^2dx=$ $=(\frac{S_{p}}{v^2}*\frac{x_{n}^3}{3}+c)-(\frac{S_{p}}{v^2}*\frac{x_{0}^3}{3}+c)=(\frac{S_{p}}{v^2}*\frac{v^3}{3}+c)-(\frac{S_{p}}{v^2}*\frac{0^3}{3}+c)=\frac{S_{p}*v}{3}$
$V=\frac{1}{3}S_{p}v$

Takže myslím, že jsem zdárně došel ke správnému výsledku (pokud jste objevili chybu určitě mi ji prosím ohlaste). Všem Vám moc děkuji za pomoc, sice jsem poměrně uhnul od svého původního záměru, ale i tak jsem rád. Jestli znáte nějaký zdroj, který by výpočet uváděl pouze za použití limit, s radosti bych se na něj podíval. Ještě pro úplné doplnění mých zdrojů: jako inspiraci pro užití Lagrangeovi věty jsem využil toto video: https://www.youtube.com/watch?v=Q0jfnv6_n3s .
Ještě jednou děkuji za pomoc, pokud naleznete chybu, prosím hlaste mi ji.
P.S. Myslíte, že by se toto dalo považovat přímo za důkaz? Samozřejmě s doplněním některých údajů, které jsem přímo v tomto příspěvku urychlil, neboť jsou obsaženy v příspěvcích starších. Předpokládám, že k ucelení mi chybí ověřit nějaké předpoklady. Pokud by se někomu chtělo mi povědět jaké, byl bych rád.

Rumburak

↑ Kdosi:

Měli bychom si vybrat stanovisko, zda integrál použít chceme či nechceme. Kombinovat obě stanoviska je
zbytečně složité a takový postup je těžké podrobně kontrolovat.

I. Pokud CHCEME použít integrál, pak můžeme velmi jednoduše postupovat takto:

Označíme $V(x) , x \in (0, v)$ objem jehlanu s výškou $x$ , který je podobný "prvotnímu" jehlanu o výšce $v$ ,
a snažíme se neznámou funkci $V$ zderivovat podle definice derivace

$V'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{V(x + h) - V(x)}{h}$ .

Pro jednoduchost hledejme nejprve derivaci zprava. Rozdíl $V(x + h) - V(x)$ pro "malé" $h > 0$ bude
odpovídat objemu "destičky" o tloušce $h$ , jejíž menší podstavou bude obrazec $\Omega(x)$ a větší podstavou
obrazec $\Omega(x+h)$ . Zřejmě bude platit vztah

(1) $S(\Omega(x)) \cdot h \le V(x + h) - V(x) \le S(\Omega(x+h)) \cdot h$ ,

v němž $S(\Omega(x))$ značí obsah obrazce $\Omega(x)$ (mezi obrazcem a jeho obsahem nutno rozlišovat).
Vydělení nerovnice (1) číslem $h > 0$ dává

$S(\Omega(x)) \le \frac {V(x + h) - V(x)}{h} \le S(\Omega(x+h))$ ,

limitním přechodem pro $h \to 0_+$ dostáváme

$S(\Omega(x)) \le \lim_{h \to 0_+}\frac {V(x + h) - V(x)}{h} \le \lim_{h \to 0_+} S(\Omega(x+h)) = S(\Omega(x))$ ,

tedy $V'_+(x) = S(\Omega(x))$ . Tentýž výsledek bychom analogickým postupem získali pro derivaci zleva.
Celkem tedy máme

(2) $V'(x) = S(\Omega(x)) = S_p \cdot $\frac{x}{v}$^2$

a to už můžeme integrovat. Zřejmě $V(0) = 0$ , takže

$V(v) = V(v) - V(0)=\int_0^v V'(x) \d x = \int_0^v S_p \cdot $\frac{x}{v}$^2 \d x = \frac{S_p}{v^2} \int_0^v x^2 \d x = \frac{S_p}{v^2}\cdot \frac{1}{3} v^3 = ...$ .

II. Pokud NECHCEME použít integrál:

Zvolíme (prozatím pevně) přirozené číslo $n > 0$ a položíme $h = \frac{v}{n}$ a dále $x_i = ih , i = 0, 1, ..., n$ .

Pro objem $V$ prvotního jehlanu zřejmě platí odhady

(3) $\sum_{i=1}^n S(\Omega(x_{i-1}))\cdot h \le V \le \sum_{i=1}^n S(\Omega(x_i))\cdot h$ .

Výraz na pravé straně upravíme takto:

$\sum_{i=1}^n S(\Omega(x_i))\cdot h = \sum_{i=1}^n S_p\cdot $\frac{x_i}{v}$^2\cdot h=\frac{hS_p}{v^2}\sum_{i=1}^n x_i^2 =\frac{hS_p}{v^2}\sum_{i=1}^n i^2h^2 =\frac{h^3S_p}{v^2}\sum_{i=1}^n i^2$ .

Nyní použijeme vzorec

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6}\cdot n(n+1)(2n+1)$

(důkaz indukcí), s ohledem na $h = \frac{v}{n}$ dostaname

$\sum_{i=1}^n S(\Omega(x_i))\cdot h = \frac{S_p v}{n^3}\cdot \frac{1}{6}\cdot n (n+1) (2n+1)=\frac{1}{3} \cdot S_pv \cdot $1 + \frac{1}{n}$$1 + \frac{1}{2n}$$

a z toho snadno spočteme $\lim_{n \to \infty}$ . Obdobně naložíme s levou stranou v (3) a dostaneme tentýž výsledek.

Kdosi · 06. 08. 2014 13:35 — Editoval Kdosi (06. 08. 2014 14:48)

↑ Rumburak:
Děkuji za reakci a podrobný popis Vašeho řešení.
Myslíte tedy, že můj postup nelze považovat za správný, nebo si myslíte, že je pouze zbytečně příliš komplikovaný?

Rumburak

↑ Kdosi:

Pokusím se tedy některé body Tvého postupu (zde si většinou vzájemně tykáme) okomentovat.
Zápisy tvaru $\Omega(x)$ jsem při tom doplnil na $S(\Omega(x))$ tam, kde zřejmě má jít o obsah obrazce $\Omega(x)$ .

1)

Potom tedy můžeme říct, že obsah i-tého hranolu je $V_{i}=S(\Omega (x_{i}))*(x_{i}-x_{i-1})$

Nemůžeme. S jistotou můžeme napsat pouze

$S(\Omega (x_{i-1}))*(x_{i}-x_{i-1}) \le V_{i}\le S(\Omega (x_{i}))*(x_{i}-x_{i-1})$

s tím, že $\lim_{(x_{i}-x_{i-1}) \to 0_+}$S(\Omega (x_{i}) - S(\Omega (x_{i-1})$ = 0$ .

2)

Pro naše použití můžeme napsat: Nechť $\varrho \in (x_{i-1},x_{i})$ a $F(x)=\int_{}^{}S(\Omega (x))$ , poté $S(\Omega (\varrho ))=\frac{F(x_{i})-F(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}$

Symbol $\int_{}^{}S(\Omega (x)) \d x$ (bez vyznačení integračních mezí resp. množiny, přes kterou se integruje)
se chápe jako NEURČITÝ integrál, což je obecně množina všech primitivních funkcí k integrované funkci
(zde tedy k funbkci $x \mapsto S(\Omega (x))$ ).
Z dalšího kontextu chápu, že jsi tím měl na mysli rovnost $F(x) :=\int_{0}^{x}S(\Omega (t)) \d t$ .
Integrační proměnnná pak není totožná s proměnnou funkce $F$ (tou je horní mez integrálu), proto jsem ji
označil jinak.

Rovnost $S(\Omega (\varrho ))=\frac{F(x_{i})-F(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}$ pak platí podle L. věty o střední hodnotě pouze pro NĚKTERÉ
(případně některá) $\varrho \in (x_{i-1},x_{i})$ , ale obecně nikoliv pro všechna taková $\varrho$ , jak naznačuješ
(obecně by to platilo, pokud by integrovaná funkce byla konstantní, což ale zřejmě není). Neexistuje tedy
ani žádné zdůvodnění, proč zde klást $\varrho = x_i$ , jak dále činíš.

3)

$\sum_{i=1}^{n}F(x_{i})-F(x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{0})=V$

V součtu máš chybu (možná jen překlep), měl vyjít $F(x_{n})-F(x_{0})$ .

4)

$V=\int_{}^{}S(\Omega (x_{n}))dx-\int_{}^{}S(\Omega(x_{0}))dx= ...$

Viz též dřívější poznámka o "určitých" a "neurčitých" integrálech.
Skutečně se podle proměnné $x$ mají integrovat konstatní funkce $x \mapsto S(\Omega (x_{n})), x \mapsto S(\Omega (x_{0}))$ ?

PS.
Připadá mi, že jsi v mat. analýze samouk (myslím to bez příhany).
Mohu se zeptat, ze kterých materiálů studuješ ?

Kdosi · 07. 08. 2014 14:06

Opět děkuji za reakci.
Tvůj odhad na to, že jsem samouk (a podle výkonů co tu převádím né-zrovna dobrý) je v podstatě odůvodněný, ale není to přesně tak, jak si píšeš. Jde o to, že před těmito prázdninami jsem opustil devátý ročník základní školy a mé znalosti matematické analýzy opravdu nejsou vůbec, ani trochu, dobré (jestli vůbec nějaké jsou). To však nemění nic na mém zapálení pro matematiku, kterou se samozřejmě učím sám. No, snažím řešit mat. problémy intuitivně. Samozřejmě v oblasti matematiky mám již znalosti, které převyšují vědění ostatních absolventů ZŠ (ale to by měl mít každý středoškolák).
No, asi jsem trochu odbočil. Znalosti z mat. analýzy téměř žádné nemám, ale i tak jsem se chtěl nějak "poprat" s tímto problémem. Proto moc děkuji za Vaši trpělivost, která jistě byla potřeba, a ochotu mi pomoct.

Rumburak · 08. 08. 2014 10:40

↑ Kdosi:

Vůbec nepochybuji o tom, že máš pro matematiku nadání - zájem o matematiku je obvykle spojen s talentem
pro tento obor. Na matematiku ZŠ, která je relativně velmi "hrubá", i na mnohé SŠ úlohy většinou stačí intuice
daná dostatečnou mírou matematického talentu. "Vyšší" matematika je ale mnohem "jemnější" a vedle talentu
je potřeba mít i velmi přesné znalosti o pojmech a jejich vlastnostech.

Klasickými českými učebnicemi základů matematické analýzy jsou knihy Vojtěcha Jarníka: Diferenciální počet I,
Integrální počet I. (Druhá kniha volně navazuje na první.) Jsou to sice vysokoškolské učebnice, ale jejich styl
by mohl být, myslím, srozumitelný i pro nadaného středoškoláka, jemuž nechybí zájem a určitá dávka píle.
K oběma titulům existují i druhé díly pro pokročilé, ty už jsou ale na studium o mnoho náročnější.

Každá oblast "vyšší" matematiky je určitý systém poznatků logicky vybudovaný podle schematu "definice - věta -
důkaz" a podle toho nutno k ní přístupovat. Je potřeba věnovat plnou pozornost všem třem složkám tohoto
schematu, chceme-li látce porozumět. Také si nelze například říci "limity mne nezajímají, přeskočím je a půjdu
hned na integrály", protože v látce o integrálech budou využívány poznatky o limitách (a pod.).

Přeji mnoho úspěchů při studiu . :-)

Kdosi · 08. 08. 2014 12:48

↑ Rumburak: Ano, moc děkuji za reakci a rady. Jsem také rád, že jsi si udělal čas a celé toto téma i právě obecně "mé studium" se mnou probral. Na knihy se určitě podívám a pravděpodobně i nastuduji.

Matematické Fórum

#1 03. 08. 2014 16:12 — Editoval jelena (03. 08. 2014 21:35)

Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#2 03. 08. 2014 16:20 — Editoval misaH (03. 08. 2014 16:20)

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#3 03. 08. 2014 16:36

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#4 03. 08. 2014 16:52

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#5 03. 08. 2014 19:35

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#6 03. 08. 2014 21:34

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#7 04. 08. 2014 00:06

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#8 04. 08. 2014 10:39 — Editoval Kdosi (04. 08. 2014 10:41)

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#9 04. 08. 2014 11:49 — Editoval Rumburak (05. 08. 2014 09:47)

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#10 05. 08. 2014 23:37

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#11 06. 08. 2014 11:56 — Editoval Rumburak (06. 08. 2014 12:27)

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#12 06. 08. 2014 13:35 — Editoval Kdosi (06. 08. 2014 14:48)

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#13 07. 08. 2014 11:48 — Editoval Rumburak (07. 08. 2014 11:54)

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#14 07. 08. 2014 14:06

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#15 08. 08. 2014 10:40

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

#16 08. 08. 2014 12:48

Re: Vzorec pro objem jehlanu - limita sumy?

Zápatí