Matematické Fórum

Fobl · 06. 08. 2014 20:45

Dobrý den.
Mám příklad a nevím si s ním rady. Potřeboval bych aspoň nějaký náznak.
Rozhodněte, zda je posloupnost $z_{n}$ omezená v C. Své rozhodnutí zdůvodněte.
$(i+\frac{1}{n})^{n}$
Vím, že kdyby tam byla místo i číslo 1, byla by posloupnost omezená, protože její limita by byla e, ale už nevím, jak je to, když je tam i. Kladu si otázku, zda má příklad smysl.

vanok · 06. 08. 2014 21:26

Ahoj,
Je lahke dokazat, ze aj pre komplexne z plati
$e^z=\lim_{n \to \infty} (1+\frac{z}{n})^{n}$
( dokaz sa da urobit, tak ze pouzije modul ako aj argument).
A tato vlasnost moze byt uzitocna v tvojom cviceni.

Fobl · 07. 08. 2014 22:39

Dobrý den.
Chápu li to dobře, znamená to, že posloupnost je omezená, protože její limita je $e^{i}$ . Tím, že má posloupnost limitu je omezená.

vanok · 07. 08. 2014 23:18

Ahoj ↑ Fobl:,
Ak si uz dokazal, ze $e^z=\lim_{n \to \infty} (1+\frac{z}{n})^{n}$ ,
Tak ten vysledok, pochopitelne mozes pouzit, ale pozor tvoj vyraz $(i+\frac{1}{n})^{n}$ nema taku formu ako v limite...tak ho najprv treba upravit, aby si ho mohol pouzit...na cast upraveneho vyrazu....

Fobl · 08. 08. 2014 21:22

Dobrý den.
Zkoušel jsem si to upravit, ale moc mi to nepomohlo. Kladu si otázku, zda má příklad smysl.

Bati · 08. 08. 2014 21:55

Fobl · 09. 08. 2014 10:47

Dobrý den.
Děkuji za nápovědu.
Nakonec mě napadlo, že funkce je omezená, protože může nabývat pouze hodnot $(-(1+\frac{1}{n})^{n};-1)\cup (1;(1+\frac{1}{n})^{n})$

Bati · 09. 08. 2014 11:14

↑ Fobl:
Jaká funkce? Je třeba zkoumat omezenost v $\mathbb{C}$ . To asi nebude správná úvaha...

Fobl · 09. 08. 2014 11:53

Absolutní hodnota je vždy číslo kladné, a proto uvažuji, že posloupnost $(i+\frac{1}{n})^{n}$ může nabývat pouze hodnot $(-(1+\frac{1}{n})^{n};-1)\cup (1;(1+\frac{1}{n})^{n})$ . Z čehož bych vyvozoval, že posloupnost je omezená na intervalu. Nevím jestli má úvaha je správná.

vanok · 09. 08. 2014 12:10 — Editoval vanok (10. 08. 2014 10:51)

Ahoj.
Mozes pouzit aj toto: $(i+\frac{1}{n})^{n}=i^n(1+\frac {-i}n)^n$ , ak si uvedomis, ze $i^n$ ma len 4 mozne hodnoty a ze $(1+\frac {-i}n)^n$ konverguje (ako sme poznamenali tu ↑ vanok:) lahko prides k vysledku.

Bati · 09. 08. 2014 13:14 — Editoval Bati (09. 08. 2014 13:17)

↑ Fobl:
Úvaha správná není, neboť tvá množina je částí $\mathbb{R}$ a např. pro $n=1$ je $z_1=i+1\not\in\mathbb{R}$ . Co je neméně podstatné, že množina, do níž patří všechny členy posloupnosti, rozhodně nemůže záviset na $n$ .