Matematické Fórum

LucasR · 21. 02. 2009 13:37

Mám tady jeden příklad na důkaz pomocí matematické indukce.U ostatních typů to umím lehce ale u tohodle když si dám že n=K+1 tak pak nevím jak dokázat že se to rovná tomu zápisu v tom rámečku.Můžete mi pls někdo poradit jak na to ? nebo kde je chyba?

PAk tam mam jednu nerovnici a napsat pro jaký interval platí.Nesem si jist, zda je to správně...Děkuji za pomoc

Zadání:

Můj postup

lukaszh · 21. 02. 2009 13:45

↑ LucasR:
Nula nepatrí medzi prirodzené čísla, preto môžeš dosadiť n = 1 v prvom kroku. V druhom kroku môžeš položiť n = k, čím dostaneš
$1+q+\cdots+q^k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$
a predpokladáš platnosť. Uvažuješ k+1, teda
$1+q+\cdots+q^k+q^{k+1}=\frac{1-q^{k+2}}{1-q}$
Pričom súčet do q^k je podľa indukčného predpokladu a predchádzajúcej rovnice rovný výrazu na pravej strane, teda môžem substituovať:
$\frac{1-q^{k+1}}{1-q}+q^{k+1}=\frac{1-q^{k+2}}{1-q}$
Teraz ukáž platnosť tejto rovnice.

LucasR · 21. 02. 2009 14:02

Díky moc...a jak to bude u te nerovnice?

lukaszh · 21. 02. 2009 14:15

↑ LucasR:
$3y<30\Rightarrow y<10$
Keď sa vrátiš späť k substitúcii, dostaneš nerovnicu:
$2^x<10\Rightarrow x<\frac{\log 10}{\log 2}$

Chrpa · 21. 02. 2009 15:12

↑ lukaszh:
Ještě bych to upravil
$2^x<10\Rightarrow x<\frac{\log 10}{\log 2}\nlx\,<\,\frac{1}{\log 2}\nlx\,<\,\left(\log 2\right)^{-1}$

Ale je to jen takový malý detail

Marian · 21. 02. 2009 16:36

↑ lukaszh:Nula se někdy považuje za přirozené číslo. V tom problém nevidím. Tvrzení je správné i pro n=0, tedy na indukci by se nic neměnilo. Dokonce je tvrzení taktéž správné pro n=-1 a i toto by šlo uvážit jako základ indukce.

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2009 13:37

Matematická indukce+ nerovnice

#2 21. 02. 2009 13:45

Re: Matematická indukce+ nerovnice

#3 21. 02. 2009 14:02

Re: Matematická indukce+ nerovnice

#4 21. 02. 2009 14:15

Re: Matematická indukce+ nerovnice

#5 21. 02. 2009 15:12

Re: Matematická indukce+ nerovnice

#6 21. 02. 2009 16:36

Re: Matematická indukce+ nerovnice

Zápatí