Matematické Fórum

Kucher · 13. 08. 2014 15:10 — Editoval Kucher (13. 08. 2014 15:14)

Dobrý den
setkal jsem se s učebnici s limitou, na kteréá nemohu přijit a jsem si jistý, že mám správný výsledek zadání je: $\lim_{x\to+\infty}$1+\frac{2}{x}$^{x}$
a výsledek je: $\mathrm{e}^{2}$
Řekl jsem si že $2/x$ je 0, protože dělim nekonečnem. Takže po upravě zbvývá $1^{x}$ což je 1, ale to se neslučuje s výsledkem.
Kde jsem postupoval špatně?

Děkuji misaH za opravu

misaH · 13. 08. 2014 15:12 — Editoval misaH (13. 08. 2014 15:19)

$\lim_{x\to+{\infty}}$1+\frac{2}{x}$^{x}$

\lim_{x\to+{\infty}}$1+\frac {2}{x}$^{x}

Lukáš Ba-mat-fyz

↑ Kucher:

Ahoj,

problém je, že si čiastočne limitoval. Nie je povolené zlimitovať jeden člen, ktorý je súčasť iného a potom pokračovať bez neho.

Môj hint, ktorý mne dosť pomáha je, prehodiť to na formu $exp(ln(...))$ ,

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

a potom riešiť limitu exponentu. Dostaneš tam výraz, ktorý sa po malej úpravej pomocou LHospitalovho pravidla zlimituje ľahšie.

Kucher · 13. 08. 2014 15:32

↑ Lukáš Ba-mat-fyz:
aha takže
to převést na $\mathrm{e}^{xln(1+\frac{2}{x})}$
po dosazeni to pak ale vychází $\infty\cdot0$ což musim převest na $\mathrm{e}^\frac{{ln(1+\frac{2}{x}})}{x}$ a po použiti hospitala mi vyjde $\mathrm{e}^{-\frac{2}{x^{2}+2x}}$ a to opět nesouhlasi.

Lukáš Ba-mat-fyz · 13. 08. 2014 15:36

↑ Kucher:

jedna chybyčka, keď chceš z čitateľa previesť $x$ do menovateľa, tak treba si davit pozor, pretože ty si z $x$ len tak spravil $\frac{1}{x}$ . Treba to dať ako $\frac{1}{\frac{1}{x}}$ a potom to bude sediet. V tvojom prípade to prevedenie bolo aj tak $\frac{0}{\infty}$ .

Kucher · 13. 08. 2014 15:40

a jo!
takže mi vyjde $\mathrm{e}^{\frac{2x^{2}}{x^{2}+2x}}$ a po dosazení $\infty$ nám doopravdy vyjde $\mathrm{e}^{2}$
děkuji

Lukáš Ba-mat-fyz

↑ Kucher:

Rádo sa stalo :)

Rumburak

↑ Kucher:

Zdravím.

Vhodná metoda výpočtu uvedené limity závisí do značné míry i na tom, co víme o čísle $\mathrm{e}$ .
Známe-li například vzorec $\lim_{t\to+\infty}$1+\frac{1}{t}$^{t} = \mathrm{e}$ , jímž v některých pramenech bývá
číslo $\mathrm{e}$ dokonce definováno, potom substitucí $x =2t$ dostáváme

$\lim_{x\to+\infty}$1+\frac{2}{x}$^{x} = \lim_{t\to+\infty}$\(1+\frac{1}{t}$^{t}\)^2 = $\lim_{t\to+\infty}\(1+\frac{1}{t}$^{t}\)^2 = \mathrm{e}^2$ .