Matematické Fórum

Brzls · 13. 08. 2014 13:35

Zdravím

Jaká je pravděpodobnost, že při 500 hodech mincí padne desetkrát (a nebo víckrát, nepožadujeme aby to bylo přesně 10krát) za sebou panna nebo desetkrát za sebou orel??

Mě jediný co napadlo je uvažovat, že se to stane při prvních deseti hodech (hned ze začátku padne desetkrát orel např) a určit kolika způsoby je to možné, resp. kolika způsoby může proběhnout zbylých 490 hodů. Toto číslo pak vynásobit 490 (sčítám 490 možností, jakože napřed padne jedna možnost, pak ta řada deseti+napřed padnou dvě nějaké věci,pak řada deseti atd.). Jenže při tomto postupu některé možnosti započítávám dvakrát, a určit jejich počet se mi již nedaří.

Napadá někoho jiný postup, nebo jak tento dotáhnout do konce?

Xellos · 13. 08. 2014 16:01 — Editoval Xellos (14. 08. 2014 23:05)

Staci od $2^{500}$ odratat pocet moznosti kedy sa to nestane; ten ziskame ako pocet rozdeleni 500 na sucet cisel $\le 9$ (kolko krat za sebou padlo to iste, zalezi na poradi tych cisel); kazdy taky sucet nam urcuje 2 moznosti ako mohli hody vyzerat v zavislosti na tom co padlo ako prve (napr. 4=1+2+1 zodpoveda hodom 1001 a 0110).

Nech $P_n$ je pocet moznosti ako rozbit $n$ na sucet takych cisel. Potom pre $1 \le n \le 9$ je zjavne $P_n=2^{n-1}$ , lebo 10 za sebou nebude nikdy. Pre $n > 9$ je

$P_n=\sum_{k=n-9}^{n-1}P_k$

a aha, linearna rekurencia 9-teho stupna. To uz nema cenu riesit exaktne. Ked som to nakodil, dostal som $P_{500}=1.01\cdot10^{150}$ a tvoju pravdepodobnost $p=1-\frac{P[500]}{2^{499}}=0.384$ .