Matematické Fórum

duskin · 13. 08. 2014 17:48

Zdravím,
mám problém s příkladem na matematickou indukci, nevím si rady jak využít indukční předpoklad:
$n^{n+1}>(n+1)^n$ kde $n\ge 3$ .
Za každou radu budu rád, díky :).

Eratosthenes · 13. 08. 2014 18:20

Ahoj ↑ duskin:,

předpokládáš, že platí

$n^{n+1}>(n+1)^n$ (1)

a musíš dokázat, že platí

$(n+1)^{(n+1)+1}>(n+1+1)^{n+1}$ (2)

tj. při důkazu (2) použiješ (1).

misaH · 13. 08. 2014 18:49

↑ Eratosthenes:

Najprv sa treba presvedčiť, či dokazovaný vzťah platí pre najmenšie číslo, teda pre číslo n=3.

Eratosthenes · 13. 08. 2014 19:12

↑ misaH:

To jistě, ale ↑ duskin: se ptal jenom na využití indukčního předpokladu, proto jsem 3^4>... přeskočil.

misaH · 13. 08. 2014 19:33

↑ Eratosthenes:

Aha, áno, chápem.

:-)

duskin · 13. 08. 2014 20:00

Doufám že je to už správně

1. pro n=3 to platí
2. předpoklad: $n^{n+1}>(n+1)^n$
$n(2n)^n>(2n+2)^n$
$n(2n+2)(2n)^n>(2n+2)^{n+1}>(n+2)^{n+1}$
$2n(n+1)2^{n}n^n>(n+2)^{n+1}$
$(n+1)2^{n+1}n^{n+1}>(n+2)^{n+1}$
$(n+1)(2n)^{n+1}>(n+2)^{n+1}$ což pro $n\ge 3$ platí vždy.

duskin · 13. 08. 2014 20:02

Teď mi došlo že je to celé špatně protože $(n+1)(2n)^{n+1}>$ (n+1)^{n+2}$ Takže to nemusí platit. Jsem už asi ztracený :(

sugyman

Mně přijde osobně lepší si to přepsat na $n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

duskin · 14. 08. 2014 11:42

↑ sugyman:
Vyplývá už z tohoto řešení bezprostřední správnost pro libovolné n? Je jasné že se výraz na pravé straně bude nekonečně přibližovat k $e$ .

jelena · 15. 08. 2014 12:51

Zdravím,

nějak to zapadlo.

↑ duskin - příspěvek 6: abych pravdu řekla, tak tak narychlo nevidím důvod, proč jsi 1. krokem vynásobil levou a pravou stranu $2^n$ , tedy k úpravě od $n^{n+1}>(n+1)^n$ k $n(2n)^n>(2n+2)^n$ (jak to souvisí s předpokladem $n^{n+1}>(n+1)^n$ ?).

kolega duskin v příspěvku 9 napsal(a):
Je jasné že se výraz na pravé straně bude nekonečně přibližovat k $e$ .

To není jasné bez důkazu (nebo bez předpokladu, že důkaz už máte a můžete používat). Doporučení od kolegy ↑ sugyman: je s důkazem např. zde, nebo zkus se podívat na předpoklády, co můžete používat. Děkuji.

duskin · 15. 08. 2014 13:32

↑ jelena:
Snažil jsem indukční předpoklad upravovat tak, abych měl po všechn úpravách na pravé straně za každou cenu $(n+2)^{n+1}$ . Nedošlo mi že tím pak zničím celou indukci.
Děkuji za odkaz, vypadá to elegantně. Asi by mě nenapadlo si nejdřív celou nerovnost upravit do tohoto lepšího tvaru a až potom dokazovat mat. indukcí.

Matematické Fórum

#1 13. 08. 2014 17:48

Mat. indukce nerovnosti

#2 13. 08. 2014 18:20

Re: Mat. indukce nerovnosti

#3 13. 08. 2014 18:49

Re: Mat. indukce nerovnosti

#4 13. 08. 2014 19:12

Re: Mat. indukce nerovnosti

#5 13. 08. 2014 19:33

Re: Mat. indukce nerovnosti

#6 13. 08. 2014 20:00

Re: Mat. indukce nerovnosti

#7 13. 08. 2014 20:02

Re: Mat. indukce nerovnosti

#8 13. 08. 2014 20:29 — Editoval sugyman (13. 08. 2014 20:32)

Re: Mat. indukce nerovnosti

#9 14. 08. 2014 11:42

Re: Mat. indukce nerovnosti

#10 15. 08. 2014 12:51

Re: Mat. indukce nerovnosti

kolega duskin v příspěvku 9 napsal(a):

#11 15. 08. 2014 13:32

Re: Mat. indukce nerovnosti

Zápatí