Matematické Fórum

Petr Melán · 12. 08. 2014 15:33

Zdravím,mám problém , doposud mi vycházely všechny příklady s rovnicemi např. $|x+1|=3$ atd. jenže teď jsem u nerovnic a tam mi vyšla jen jedna,takže něco musím dělat blbě a chci se zeptat co , např.

$|3x-1|\le 2$ akorát není menší nebo rovno,ale jen menší , nevím jestli jsem slepý,ale znaménko menší jsem tam nenašel.

No zpátky k příkladu , dělal jsem to takto: 1.) $3x-1\ge 0 \wedge 3x-1\le 2$ (u pravé strany opět bez rovno) , vyšlo mi to $x\ge \frac{1}{3}$ a $x\le 1$ (bez rovno)

2.) $3x-1\le 0$ (bez rovno) $\wedge$ $-3x+1\le 2$ (bez rovno) a vyšlo to $x\le \frac{1}{3}$ (bez rovno) a $x\ge -\frac{1}{3}$ (bez rovno)

Jenže dle výsledků špatně,tak mě zajímá kde je chyba , totiž rovnice mi takovým stylem vycházely,tak nevím , u nerovnic je to asi trochu jinak ... díky

OndrasV · 12. 08. 2014 15:47

Asi vidíš, proč $|x|\le 2$ se řeší jako $-2 \le x\le 2$ . Stejně si pak $|3x-1|\le 2$ převedeš na $-2 \le 3x-1\le 2$ .
Tj. $3x-1\le 2$ a zároveň $-2 \le 3x-1$ (ta se převede na $3x-1\ge - 2$ ).

Freedy · 12. 08. 2014 15:58

A proč je podle tebe výsledek špatně?
1) správně si zavedl podmínku, kdy můžeš odstranit absolutní hodnotu:
$x\ge \frac{1}{3}$ a následním dopočítáním nerovnice $3x-1<2$ , $x<1$ výsledný interval bude tedy: $x\in \langle \frac{1}{3};1)$

2) opět stejná podmínka, ale když to bude menší než nula:
$x<\frac{1}{3}$ potom přejde nerovnice do tvaru: $-3x+1<2$ , $x>-\frac{1}{3}$ a výsledný interval bude: $x\in (-\frac{1}{3};\frac{1}{3})$

Sjednocením dvou výsledných intervalů dostáváš konečný výsledek:
$(-\frac{1}{3};\frac{1}{3})\cup \langle\frac{1}{3};1)=(-\frac{1}{3};1)$

Nicméně, u nerovnic typu:
$|f(x)|><=c, c\in R^+$ lze aplikovat i metodu umocnění, kterou se neztratí žádné intervaly řešení. Nerovnice poté přejde do tvaru:
$f^2(x)><=c^2$ čímž se zbavíš absolutní hodnoty.

U tvého příkladu by přešla nerovnice do tvaru:
$9x^2-6x+1<4$ >>> $3x^2-2x-1<0$ což lze složit na součin: $3(x+\frac{1}{3})(x-1)<0$ a z toho jasně usoudit výsledný interval.

Petr Melán · 12. 08. 2014 16:11

↑ Freedy:
Počkat,takže $(-\frac{1}{3};\frac{1}{3})\cup \langle\frac{1}{3};1)=(-\frac{1}{3};1)$ je správně ?

zdenek1 · 12. 08. 2014 16:14

↑ Freedy:
Jen malá poznámka:
Když už použiješ umocnění, je efektivnější úprava
$f^2(x)<>=c^2$
$f^2(x)-c^2<>=0$
$(f(x)-c)(f(x)+c)<>=0$
přičemž druhý krok nemusíš psát, stačí si ho myslet a skočit rovnou na konec. :-)

zdenek1 · 12. 08. 2014 16:14

↑ Petr Melán:
ANo, to je správně.

misaH · 12. 08. 2014 16:14

↑ Petr Melán:

Áno.

Stačí si to nakresliť, ide o zjednotenie.

Petr Melán · 12. 08. 2014 18:18

Aha tak to jo , to potom dík , v tom případě je celé cvičení v učebnici blbě :D

misaH · 12. 08. 2014 20:34

↑ Petr Melán:

A čo je v učebnici?

Petr Melán · 15. 08. 2014 14:31

V učebnici je $(-\frac{1}{3},1)$

misaH · 15. 08. 2014 14:34 — Editoval misaH (15. 08. 2014 14:34)

↑ Petr Melán:

Však to je to isté ako odpovede z fóra, tak je to vari dobre, nie?

Prečo si napísal, že.je to blbě?

Matematické Fórum

#1 12. 08. 2014 15:33

Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#2 12. 08. 2014 15:47

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#3 12. 08. 2014 15:58

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#4 12. 08. 2014 16:11

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#5 12. 08. 2014 16:14

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#6 12. 08. 2014 16:14

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#7 12. 08. 2014 16:14

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#8 12. 08. 2014 18:18

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#9 12. 08. 2014 20:34

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#10 15. 08. 2014 14:31

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

#11 15. 08. 2014 14:34 — Editoval misaH (15. 08. 2014 14:34)

Re: Nevychází lin. rovnice/nerovnice s absolutní hodnotou

Zápatí