Matematické Fórum

Mihulik · 21. 02. 2009 15:15

Dobrý den,
absolutně si nevím rady s příkladem:
$2*(cos x)^2 = sin x + 1$

"Povedlo" se mi ho dostat do formy:
$cos 2x = sin x$
což se mi zdá zaprvé jako blbost, navíc stejně nevím ani co bych s tímhle dále dělal.

Děkuji všem za radu!

mikee · 21. 02. 2009 15:27

↑ Mihulik:
Goniometricke rovnice je lepsie upravit tak, aby sme v nich mali iba jednu goniometricku funkciu. Ja preto navrhujem vyuzit vzorec $sin^2 x + cos^2x = 1$ , z ktoreho $cos^2 x = 1 - sin^2 x$ co dosadime do povodnej rovnice: $2 \cdot (1 - sin^2 x) = sin x + 1$ . Po substitucii $sin x = t$ a uprave dostavame kvadraticku rovnicu $2t^2 + t - 1 = 0$ , z ktorej myslim ze uz nebudes mat problem vyjadrit korene a potom spatnou resubstituciou aj korene povodnej rovnice (ako je to zvykom pri goniometrickych rovniciach, aj tato bude mat nekonecne vela rieseni). Ked tie korene vyjadris, mozes ich sem napisat pre kontrolu :)

O.o · 21. 02. 2009 15:28

↑ Mihulik:

Zkus využít takový úplně základní fakt: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \Rightarrow \ \cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ , dostaneš se na "kvadratickou" rovnici (substituce sin(x) = a -> kvadratická je na světě ;)), tu vyřešíš a pak se s výsledkyvrátíš do substituce, oki?

Mihulik

No jóó!
Jsem hňup:mad:.
Goniometrickou jedničku jsem použil, ale nahradil jsem si s ní jedničku ve výrazu, takže jsem dostal tvar:
$(2cos x)^2 = sin x + (sin x)^2 + (cos x)^2$
a z něj jsem pak dostal ten svůj patvar, co jsem psal výše.
Hold zatemnění měsíce:-D

Teď už je řešení jasné!
$x_1 = \frac{\pi}{2}+2k\pi$
$x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$
$x_3 = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$

Děkuji vám za radu:-)

mikee · 21. 02. 2009 16:17

↑ Mihulik:
No ten 'patvar' bol mozno aj dobre, ale zle sa z takeho tvaru potom urcuju korene :))
To riesenie si ale skus este raz prepocitat, lebo myslim ze to nie je dobre, pravdepodobne zase iba nejaka malicka chyba :) Odporucam nakreslit si jednotkovu kruznicu :)

Mihulik · 21. 02. 2009 16:50

Vážně neskutečný tohle:-D Upsal jsem se u znaménka té pomocné kvadratické rce, takže mi pak vyšly její jiné kořeny a tím pádem i jiné kořeny původní rce*oops*

Takže konečně už finální verze výsledků:
$x_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$
$x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$

Tentokrát už raději ověřeno i zkouškou:-D

Ještě jednou díky:-)

mikee · 21. 02. 2009 16:53

↑ Mihulik:
Tieto korene su dobre, ale este ti tam "jeden" (samozrejme nekonecne vela, ale jeden zapis..) chyba :))) Ta kvadraticka rovnica ma dva korene a tieto "dva" korene povodnej rovnice sme dostali iba z jedneho korena kvadratickej :) Takze skus este ten zvysok doplnit :)))

Mihulik · 21. 02. 2009 17:22

$x_3 = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$

Uff:-)))

mikee · 21. 02. 2009 17:33

↑ Mihulik:
No vyborne :))) Tak teraz uz je to kompletne :) Este by som snad dodal poslednu vec, ze tieto tri mnoziny korenov mozme elegantne napisat ako $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3},k \in Z$ . Dost si sa s tym potrapil, ale aj o tom je matika, kto nepocita tak sa to nenauci :)

Mihulik · 22. 02. 2009 13:14

Je to tak:-)
BTW: Jak si prosímtě přišel na ten jeden jediný zápis, který stačí k pokrytí všech výsledků?

mikee · 22. 02. 2009 13:56

↑ Mihulik:
No ked si nakreslis tie body (vysledky) na jednotkovu kruznicu, a ked si vsimnes, ze tvoria vrcholy nejakeho pravidelneho utvaru, tak sa daju v podstate zapisat strucnejsie. V tomto pripade tvoria vrcholy pravidelneho (rovnostranneho) trojuholnika, takze vezmeme nejaky jeden lubovolny bod a k nemu pripocitavame tretinu z $2\pi$ , pricom dostaneme vzdy dalsie riesenie. Keby tvorili stvorec, tak je to stvrtina, keby patuholnik tak patina atd. Ako keby sa zmensila "perioda" tych rieseni. Myslim ze z obrazku to vidno :) Neviem ci som to dostatocne vysvetlil, da sa tomu rozumiet? :)

Mihulik · 22. 02. 2009 15:35

Zcela jasně, díky moc:-)

Rumburak

Jen tak pro zajímavost: I původní úpravu na cos 2x = sin x lze pozitivně využít :
Umocněním na druhou dostaneme

(cos 2x)^2 = (sin x)^2 ,

na pravé straně použijeme vzorec pro poloviční argument, tím obdržíme rovnici

(cos 2x)^2 = (1 - cos 2x)/2

a dále již podobně, jak popsáno od Mikee.

Pozor však na to, že umocnění rovnice na druhou není ekvivalentní úprava, takže nová rovnice
může mít více kořenů, než ta původní. Tyto "falešné" kořeny nutno v závěru vyloučit zlouškou.

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2009 15:15

Goniometrická rce

#2 21. 02. 2009 15:27

Re: Goniometrická rce

#3 21. 02. 2009 15:28

Re: Goniometrická rce

#4 21. 02. 2009 16:14 — Editoval Mihulik (21. 02. 2009 16:14)

Re: Goniometrická rce

#5 21. 02. 2009 16:17

Re: Goniometrická rce

#6 21. 02. 2009 16:50

Re: Goniometrická rce

#7 21. 02. 2009 16:53

Re: Goniometrická rce

#8 21. 02. 2009 17:22

Re: Goniometrická rce

#9 21. 02. 2009 17:33

Re: Goniometrická rce

#10 22. 02. 2009 13:14

Re: Goniometrická rce

#11 22. 02. 2009 13:56

Re: Goniometrická rce

#12 22. 02. 2009 15:35

Re: Goniometrická rce

#13 23. 02. 2009 09:34 — Editoval Rumburak (23. 02. 2009 09:38)

Re: Goniometrická rce

Zápatí